Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tập hợp X={1;2;3;...;101}X={1;2;3;...;101}. Tìm số tự nhiên n(n≥3)n(n≥3) nhỏ
Cho tập hợp X={1;2;3;...;101}X={1;2;3;...;101}. Tìm số tự nhiên n(n≥3)n(n≥3) nhỏ nhất sao cho với mọi tập con AA tùy ý gồm nn phần tử của XX đều tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt a,b,c∈Aa,b,c∈A thỏa mãn a+b=ca+b=c.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Cách 1: Dễ thấy tập hợp gồm 51 các số lẻ không thỏa mãn điều kiện của đề bài. Ta sẽ chứng minh nn nhỏ nhất bằng 52.
Xét một tập A⊂XA⊂X và |A|=52|A|=52 có các phần tử được sắp xếp a1<a2<...<a52a1<a2<...<a52(1≤a1≤50)(1≤a1≤50).
Nếu a1=1a1=1thì trong 51 số còn lại của AA luôn tồn tại 2 số nguyên liên tiếp, thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ta chia các số a1+1,a1+2,...,101a1+1,a1+2,...,101 vào các tập BiBi gồm các phần tử kk sao cho k≡i(moda1)k≡i(moda1), i=¯1,a1i=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯1,a1⇒|Bi|=[101−ia1]⇒|Bi|=[101−ia1]. (ở đây ta kí hiệu [a][a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực aa)
Nếu 101⋮̸a1101⋮̸a1 và 51⋮a1⇒[a1=3a1=17
Ta xét trường hợp a1=3, trường hợp a1=17 tương tự.
|B1|=33,|B2|=33,|B3|=32. Trong 51 số còn lại của A mỗi tập B1,B2 chỉ có thể chứa nhiều nhất 17 số, nếu không sẽ tồn tại hai phần tử có hiệu bằng 3. Vậy tập B3 chứa ít nhất 17 số nên trong B3 chứa ít nhất hai phần tử có hiệu bằng 3.
Nếu 51⋮̸a1, do [51a1]+1>12[101−ia1], ∀i=¯1,a1 nên mỗi tập Bi(i=¯1,a1−1) chỉ chứa tối đa [51a1]+1 phần tử trong 51 phần tử còn lại của A.
⇒Ba1 chứa ít nhất 51−(a1−1)([51a1]+1) trong 51 phần tử còn lại của A.
Ta chứng minh 51−(a1−1)([51a1]+1)>|Ba1|=12([101a1]−1)
⇔52,5+[51a1]>12[101a1]+a1[51a1].
Do 12[101a1]+a1[51a1]<51+50,5a1<52,5+[51a1] nên trong Ba1có quá nửa số phần tử thuộc A⇒ trong Ba1 chứa ít nhất 2 phần tử am,an thỏa mãn am−an=a1, trừ trường hợp |Ba1| lẻ.
Nếu Ba1có 3 phần tử, tồn tại tập Bj nào đó có 4 phần tử chứa ít nhất 3 phần tử của A thỏa mãn có hai phần tử có hiệu bằng a1.
Nếu |Ba1|≥5, khi đó các phần tử 2a1,4a1,6a1∈A thỏa mãn 2a1+4a1=6a1.
Ta có đpcm trong mọi trường hợp |A|=52.
Cách 2:
Bổ đề: Xét tập A⊂X sao cho không tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt a,b,c∈A thỏa mãn a+b=c. Gọi x=minA;k=[101x]. Khi đó
a) Trong tập Bm={x+2mx+1;x+2mx+2;...;3x+2mx} có nhiều nhất x số thuộc A (1).
b) |A|≤51.
a) Ta có a∉A hoặc a+x∉A suy ra (1) được chứng minh.
b) TH1: k=2n. (1) ⇒|A|≤1+n.x=1+12.[101x]≤51,5⇒|A|≤51.
TH2: k=2n+1.(1) ⇒|A|≤1+n.x+(101−x−2nx)=102−x(1+n)≤102−x.1012x=51,5⇒|A|≤51.
Vậy |A|≤51, bổ đề được chứng minh. Suy ra n nhỏ nhất bằng 52 thỏa mãn bài toán.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
