Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;...;101} \right\}\). Tìm số tự nhiên \(n\,\,\left( {n \ge 3} \right)\) nhỏ

Câu hỏi số 554753:

Vận dụng cao

Cho tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;...;101} \right\}\). Tìm số tự nhiên \(n\,\,\left( {n \ge 3} \right)\) nhỏ nhất sao cho với mọi tập con \(A\) tùy ý gồm \(n\) phần tử của \(X\) đều tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt \(a,\,\,b,\,\,c \in A\) thỏa mãn \(a + b = c\).

A. \(n = 51\)

B. \(n = 52\)

C. \(n = 53\)

D. \(n = 54\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:554753

Giải chi tiết

Cách 1: Dễ thấy tập hợp gồm 51 các số lẻ không thỏa mãn điều kiện của đề bài. Ta sẽ chứng minh \(n\) nhỏ nhất bằng 52.

Xét một tập \(A \subset X\) và \(\left| A \right| = 52\) có các phần tử được sắp xếp \({a_1} < {a_2} < ... < {a_{52}}\)\(\left( {1 \le {a_1} \le 50} \right)\).

Nếu \({a_1} = 1\)thì trong 51 số còn lại của \(A\) luôn tồn tại 2 số nguyên liên tiếp, thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ta chia các số \({a_1} + 1,{a_1} + 2,...,101\) vào các tập \({B_i}\) gồm các phần tử \(k\) sao cho \(k \equiv i\left( {\bmod {a_1}} \right)\), \(i = \overline {1,{a_1}} \)\( \Rightarrow \left| {{B_i}} \right| = \left[ {\dfrac{{101 - i}}{{{a_1}}}} \right]\). (ở đây ta kí hiệu \(\left[ a \right]\) là số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực \(a\))

Nếu \(101\not \vdots {a_1}\) và \(51 \vdots {a_1} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{a_1} = 3\\{a_1} = 17\end{array} \right.\)

Ta xét trường hợp \({a_1} = 3\), trường hợp \({a_1} = 17\) tương tự.

\(\left| {{B_1}} \right| = 33,\left| {{B_2}} \right| = 33,\left| {{B_3}} \right| = 32\). Trong 51 số còn lại của \(A\) mỗi tập \({B_1},{B_2}\) chỉ có thể chứa nhiều nhất \(17\) số, nếu không sẽ tồn tại hai phần tử có hiệu bằng 3. Vậy tập \({B_3}\) chứa ít nhất 17 số nên trong \({B_3}\) chứa ít nhất hai phần tử có hiệu bằng 3.

Nếu \(51\not \vdots {a_1}\), do \(\left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] + 1 > \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{101 - i}}{{{a_1}}}} \right]\), \(\forall i = \overline {1,{a_1}} \) nên mỗi tập \({B_i}\left( {i = \overline {1,{a_1} - 1} } \right)\) chỉ chứa tối đa \(\left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] + 1\) phần tử trong \(51\) phần tử còn lại của \(A\).

\( \Rightarrow {B_{{a_1}}}\) chứa ít nhất \(51 - \left( {{a_1} - 1} \right)\left( {\left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] + 1} \right)\) trong 51 phần tử còn lại của \(A\).

Ta chứng minh \(51 - \left( {{a_1} - 1} \right)\left( {\left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] + 1} \right) > \left| {{B_{{a_1}}}} \right| = \dfrac{1}{2}\left( {\left[ {\dfrac{{101}}{{{a_1}}}} \right] - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 52,5 + \left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] > \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{101}}{{{a_1}}}} \right] + {a_1}\left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right]\).

Do \(\dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{101}}{{{a_1}}}} \right] + {a_1}\left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] < 51 + \dfrac{{50,5}}{{{a_1}}}\)\( < 52,5 + \left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right]\) nên trong \({B_{{a_1}}}\)có quá nửa số phần tử thuộc \(A\)\( \Rightarrow \) trong \({B_{{a_1}}}\) chứa ít nhất 2 phần tử \({a_m},{a_n}\) thỏa mãn \({a_m} - {a_n} = {a_1}\), trừ trường hợp \(\left| {{B_{{a_1}}}} \right|\) lẻ.

Nếu \({B_{{a_1}}}\)có 3 phần tử, tồn tại tập \({B_j}\) nào đó có 4 phần tử chứa ít nhất \(3\) phần tử của \(A\) thỏa mãn có hai phần tử có hiệu bằng \({a_1}\).

Nếu \(\left| {{B_{{a_1}}}} \right| \ge 5\), khi đó các phần tử \(2{a_1},4{a_1},6{a_1} \in A\) thỏa mãn \(2{a_1} + 4{a_1} = 6{a_1}\).

Ta có đpcm trong mọi trường hợp \(\left| A \right| = 52\).

Cách 2:

Bổ đề: Xét tập \(A \subset X\) sao cho không tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt \(a,\,\,b,\,\,c \in A\) thỏa mãn \(a + b = c\). Gọi \(x = \min A;k = \left[ {\dfrac{{101}}{x}} \right]\). Khi đó

a) Trong tập \({B_m} = \left\{ {x + 2mx + 1;x + 2mx + 2;...;3x + 2mx} \right\}\) có nhiều nhất \(x\) số thuộc \(A\) (1).

b) \(\left| A \right| \le 51\).

a) Ta có \(a \notin A\) hoặc \(a + x \notin A\) suy ra (1) được chứng minh.

b) TH1: \(k = 2n\). (1) \( \Rightarrow \left| A \right| \le 1 + n.x = 1 + \dfrac{1}{2}.\left[ {\dfrac{{101}}{x}} \right] \le 51,5 \Rightarrow \left| A \right| \le 51\).

TH2: \(k = 2n + 1\).(1) \( \Rightarrow \left| A \right| \le 1 + n.x + \left( {101 - x - 2nx} \right) = 102 - x\left( {1 + n} \right)\,\, \le 102 - x.\dfrac{{101}}{{2x}} = 51,5 \Rightarrow \left| A \right| \le 51\).

Vậy \(\left| A \right| \le 51\), bổ đề được chứng minh. Suy ra \(n\) nhỏ nhất bằng 52 thỏa mãn bài toán.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.