Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tập hợp X={1;2;3;...;101}. Tìm số tự nhiên n(n≥3) nhỏ
Cho tập hợp X={1;2;3;...;101}. Tìm số tự nhiên n(n≥3) nhỏ nhất sao cho với mọi tập con A tùy ý gồm n phần tử của X đều tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt a,b,c∈A thỏa mãn a+b=c.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Cách 1: Dễ thấy tập hợp gồm 51 các số lẻ không thỏa mãn điều kiện của đề bài. Ta sẽ chứng minh n nhỏ nhất bằng 52.
Xét một tập A⊂X và |A|=52 có các phần tử được sắp xếp a1<a2<...<a52(1≤a1≤50).
Nếu a1=1thì trong 51 số còn lại của A luôn tồn tại 2 số nguyên liên tiếp, thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ta chia các số a1+1,a1+2,...,101 vào các tập Bi gồm các phần tử k sao cho k≡i(moda1), i=¯1,a1⇒|Bi|=[101−ia1]. (ở đây ta kí hiệu [a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực a)
Nếu 101⋮̸ và 51 \vdots {a_1} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{a_1} = 3\\{a_1} = 17\end{array} \right.
Ta xét trường hợp {a_1} = 3, trường hợp {a_1} = 17 tương tự.
\left| {{B_1}} \right| = 33,\left| {{B_2}} \right| = 33,\left| {{B_3}} \right| = 32. Trong 51 số còn lại của A mỗi tập {B_1},{B_2} chỉ có thể chứa nhiều nhất 17 số, nếu không sẽ tồn tại hai phần tử có hiệu bằng 3. Vậy tập {B_3} chứa ít nhất 17 số nên trong {B_3} chứa ít nhất hai phần tử có hiệu bằng 3.
Nếu 51\not \vdots {a_1}, do \left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] + 1 > \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{101 - i}}{{{a_1}}}} \right], \forall i = \overline {1,{a_1}} nên mỗi tập {B_i}\left( {i = \overline {1,{a_1} - 1} } \right) chỉ chứa tối đa \left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] + 1 phần tử trong 51 phần tử còn lại của A.
\Rightarrow {B_{{a_1}}} chứa ít nhất 51 - \left( {{a_1} - 1} \right)\left( {\left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] + 1} \right) trong 51 phần tử còn lại của A.
Ta chứng minh 51 - \left( {{a_1} - 1} \right)\left( {\left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] + 1} \right) > \left| {{B_{{a_1}}}} \right| = \dfrac{1}{2}\left( {\left[ {\dfrac{{101}}{{{a_1}}}} \right] - 1} \right)
\Leftrightarrow 52,5 + \left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] > \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{101}}{{{a_1}}}} \right] + {a_1}\left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right].
Do \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{101}}{{{a_1}}}} \right] + {a_1}\left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] < 51 + \dfrac{{50,5}}{{{a_1}}} < 52,5 + \left[ {\dfrac{{51}}{{{a_1}}}} \right] nên trong {B_{{a_1}}}có quá nửa số phần tử thuộc A \Rightarrow trong {B_{{a_1}}} chứa ít nhất 2 phần tử {a_m},{a_n} thỏa mãn {a_m} - {a_n} = {a_1}, trừ trường hợp \left| {{B_{{a_1}}}} \right| lẻ.
Nếu {B_{{a_1}}}có 3 phần tử, tồn tại tập {B_j} nào đó có 4 phần tử chứa ít nhất 3 phần tử của A thỏa mãn có hai phần tử có hiệu bằng {a_1}.
Nếu \left| {{B_{{a_1}}}} \right| \ge 5, khi đó các phần tử 2{a_1},4{a_1},6{a_1} \in A thỏa mãn 2{a_1} + 4{a_1} = 6{a_1}.
Ta có đpcm trong mọi trường hợp \left| A \right| = 52.
Cách 2:
Bổ đề: Xét tập A \subset X sao cho không tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt a,\,\,b,\,\,c \in A thỏa mãn a + b = c. Gọi x = \min A;k = \left[ {\dfrac{{101}}{x}} \right]. Khi đó
a) Trong tập {B_m} = \left\{ {x + 2mx + 1;x + 2mx + 2;...;3x + 2mx} \right\} có nhiều nhất x số thuộc A (1).
b) \left| A \right| \le 51.
a) Ta có a \notin A hoặc a + x \notin A suy ra (1) được chứng minh.
b) TH1: k = 2n. (1) \Rightarrow \left| A \right| \le 1 + n.x = 1 + \dfrac{1}{2}.\left[ {\dfrac{{101}}{x}} \right] \le 51,5 \Rightarrow \left| A \right| \le 51.
TH2: k = 2n + 1.(1) \Rightarrow \left| A \right| \le 1 + n.x + \left( {101 - x - 2nx} \right) = 102 - x\left( {1 + n} \right)\,\, \le 102 - x.\dfrac{{101}}{{2x}} = 51,5 \Rightarrow \left| A \right| \le 51.
Vậy \left| A \right| \le 51, bổ đề được chứng minh. Suy ra n nhỏ nhất bằng 52 thỏa mãn bài toán.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
