Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{y} + 2.\dfrac{y}{x} = 3\\2{x^2} - 3y = -

Câu hỏi số 555621:

Vận dụng

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{y} + 2.\dfrac{y}{x} = 3\\2{x^2} - 3y = - 1\end{array} \right.\).

A. \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1; - 1} \right);\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)} \right\}\)

B. \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)} \right\}\)

C. \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)} \right\}\)

D. \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1;1} \right);\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)} \right\}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:555621

Phương pháp giải

Tìm ĐKXĐ của hệ phương trình.

Từ phương trình \(\dfrac{x}{y} + 2.\dfrac{y}{x} = 3\), đặt \(t = \dfrac{x}{y}\left( {t \ne 0} \right)\) thay vào phương trình ban đầu tìm mối quan hệ của \(x,y\)

Từ phương trình \(2{x^2} - 3y = - 1\), giải và kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ne 0,\,\,y \ne 0\).

Ta đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{y} + 2.\dfrac{y}{x} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{x^2} - 3y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Xét phương trình (1): \(\dfrac{x}{y} + 2\dfrac{y}{x} = 3\).

Đặt \(t = \dfrac{x}{y}\) \(\left( {t \ne 0} \right)\), phương trình (1) trở thành \(t + 2.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0\) (1’).

Vì \(a + b + c = 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\) nên phương trình (1’) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{c}{a} = 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

+) TH1: \(t = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{y} = 1 \Leftrightarrow x = y\).

Thế vào phương trình (2) ta có: \(2{x^2} - 3x = - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0\,\,\,\left( {2'} \right)\)

Vì \(a + b + c = 2 + \left( { - 3} \right) + 1 = 0\) nên phương trình (2’) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 1\\x = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

+) TH2: \(t = 2 \Rightarrow \dfrac{x}{y} = 2 \Leftrightarrow x = 2y\).

Thế vào phương trình (2) ta có: \(2.{\left( {2y} \right)^2} - 3y = - 1 \Leftrightarrow 8{y^2} - 3y + 1 = 0\) (2’’)

Ta có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.8.1 = - 23 < 0\) nên phương trình (2’’) vô nghiệm).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)} \right\}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.