Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm tất cả

Câu hỏi số 555620:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) (với \({x_1} < {x_2}\)) thỏa mãn \(\left| {{x_1}} \right| = 3\left| {{x_2}} \right|.\)

A. \(m \in \left\{ {3; - \dfrac{3}{2}} \right\}\)

B. \(m \in \left\{ { - 3;\dfrac{3}{2}} \right\}\)

C. \(m \in \left\{ { - 3; - \dfrac{3}{2}} \right\}\)

D. \(m \in \left\{ {3;\dfrac{3}{2}} \right\}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555620

Phương pháp giải

Giải phương trình: \( - 2{x^2} = - 8\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

Áp dụng định lý Vi – ét, tính \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\)

Từ phương trình \(\left| {{x_1}} \right| = 3\left| {{x_2}} \right|\), bình phương hai vế của phương trình, tìm được mối quan hệ của \({x_1},{x_2}\)

Giải và tìm \(m\)

Giải chi tiết

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

\( \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 2m = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2m = 1 > 0\,\,\,\forall m\).

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi \(m\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} + 2m\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right)\)

Theo bài ra ta có:

\(\left| {{x_1}} \right| = 3\left| {{x_2}} \right| \Rightarrow x_1^2 = 9x_2^2 \Rightarrow x_1^2 - 9x_2^2 = 0 \Rightarrow \left( {{x_1} - 3{x_2}} \right)\left( {{x_1} + 3{x_2}} \right) = 0\)

TH1: \({x_1} - 3{x_2} = 0 \Rightarrow {x_1} = 3{x_2}\).

Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}3{x_2} + {x_2} = 2m + 2\\3x_2^2 = {m^2} + 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{2m + 2}}{4} = \dfrac{{m + 1}}{2}\\3.{\left( {\dfrac{{m + 1}}{2}} \right)^2} = {m^2} + 2m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{2}\\\dfrac{3}{4}.\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - {m^2} - 2m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{2}\\ - \dfrac{1}{4}{m^2} - \dfrac{1}{2}m + \dfrac{3}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{2}\\{m^2} + 2m - 3 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Phương trình (*) có \(a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\).

Với \(m = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 1\\{x_1} = 3{x_2} = 3\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)\).

Với \(m = - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - 1\\{x_1} = 3{x_2} = - 3\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\).

TH2: \({x_1} + 3{x_2} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = - 3{x_2}\)

Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 3{x_2} + {x_2} = 2m + 2\\ - 3x_2^2 = {m^2} + 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - m - 1\\ - 3{\left( { - m - 1} \right)^2} = {m^2} + 2m\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - m - 1\\3\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + {m^2} + 2m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - m - 1\\4{m^2} + 8m + 3 = 0\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Phương trình (**) có \(\Delta ' = {4^2} - 4.3 = 4 = {2^2} > 0\) nên phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 4 + 2}}{4} = - \dfrac{1}{2}\\m = \dfrac{{ - 4 - 2}}{4} = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).

Với \(m = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - \dfrac{1}{2}\\{x_1} = - 3{x_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)

Với \(m = - \dfrac{3}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{1}{2}\\{x_1} = - 3{x_2} = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy tập các giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(S = \left\{ { - 3; - \dfrac{3}{2}} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link