Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm tất cả
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m = 0\) (với \(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) (với \({x_1} < {x_2}\)) thỏa mãn \(\left| {{x_1}} \right| = 3\left| {{x_2}} \right|.\)
Đáp án đúng là: C
Giải phương trình: \( - 2{x^2} = - 8\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
Áp dụng định lý Vi – ét, tính \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\)
Từ phương trình \(\left| {{x_1}} \right| = 3\left| {{x_2}} \right|\), bình phương hai vế của phương trình, tìm được mối quan hệ của \({x_1},{x_2}\)
Giải và tìm \(m\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\( \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 2m = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2m = 1 > 0\,\,\,\forall m\).
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi \(m\).
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} + 2m\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right)\)
Theo bài ra ta có:
\(\left| {{x_1}} \right| = 3\left| {{x_2}} \right| \Rightarrow x_1^2 = 9x_2^2 \Rightarrow x_1^2 - 9x_2^2 = 0 \Rightarrow \left( {{x_1} - 3{x_2}} \right)\left( {{x_1} + 3{x_2}} \right) = 0\)
TH1: \({x_1} - 3{x_2} = 0 \Rightarrow {x_1} = 3{x_2}\).
Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}3{x_2} + {x_2} = 2m + 2\\3x_2^2 = {m^2} + 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{2m + 2}}{4} = \dfrac{{m + 1}}{2}\\3.{\left( {\dfrac{{m + 1}}{2}} \right)^2} = {m^2} + 2m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{2}\\\dfrac{3}{4}.\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - {m^2} - 2m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{2}\\ - \dfrac{1}{4}{m^2} - \dfrac{1}{2}m + \dfrac{3}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{2}\\{m^2} + 2m - 3 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)
Phương trình (*) có \(a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\).
Với \(m = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 1\\{x_1} = 3{x_2} = 3\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)\).
Với \(m = - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - 1\\{x_1} = 3{x_2} = - 3\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\).
TH2: \({x_1} + 3{x_2} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = - 3{x_2}\)
Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 3{x_2} + {x_2} = 2m + 2\\ - 3x_2^2 = {m^2} + 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - m - 1\\ - 3{\left( { - m - 1} \right)^2} = {m^2} + 2m\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - m - 1\\3\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + {m^2} + 2m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - m - 1\\4{m^2} + 8m + 3 = 0\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)
Phương trình (**) có \(\Delta ' = {4^2} - 4.3 = 4 = {2^2} > 0\) nên phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 4 + 2}}{4} = - \dfrac{1}{2}\\m = \dfrac{{ - 4 - 2}}{4} = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).
Với \(m = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = - \dfrac{1}{2}\\{x_1} = - 3{x_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)
Với \(m = - \dfrac{3}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = \dfrac{1}{2}\\{x_1} = - 3{x_2} = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy tập các giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(S = \left\{ { - 3; - \dfrac{3}{2}} \right\}\).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
