Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(OB\). Qua

Câu hỏi số 563048:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(OB\). Qua \(H\) vẽ dây \(CD\) vuông góc với \(AB\).

a) Tính các góc của tam giác \(ABC\) và độ dài đoạn thẳng \(CH\) theo \(R\).

b) Tiếp tuyến tại \(C\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) cắt tia \(AB\) tại \(I\). Chứng minh \(OD\) vuông góc với \(ID\).

c) Chứng minh rằng: \(4HB.HI = 3{R^2}\)

d) Hạ \(HG\) vuông góc với \(AD\). Tia đối của tia \(HG\) cắt \(CB\) tại \(E\). Tia \(OE\) cắt \(CI\) tại \(K\). Chứng minh: \(KB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:563048

Phương pháp giải

a) *\(\Delta OBC\) đều \( \Rightarrow \angle ABC\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C\)\( \Rightarrow \angle CAB\)

*\(\Delta ABC\) vuông tại \(C,CH \bot AB\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \( \Rightarrow CH\)

b) \(\Delta ICO = \Delta IDO\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ICO = \angle IDO = {90^0}\)\( \Rightarrow ID \bot OD\)

c) \(\Delta COI\) vuông tại \(C,CH \bot OI\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \( \Rightarrow \) đpcm

d) \(O\) là trực tâm của \(\Delta ACD\)

\(E\) là trung điểm của \(BC\)

\(\Delta COE = \Delta BOE\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle COE = \angle BOE\)

\(\Delta OCK = \Delta OBK\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle OCK = \angle OBK = {90^0}\)

Giải chi tiết

* Ta có: \(CD \bot OB\) tại trung điểm \(H\) của \(OB \Rightarrow CD\) là đường trung trực của \(OB\)

\( \Rightarrow \Delta OBC\) cân tại \(C\)

\( \Rightarrow OC = BC\)

Mà \(OB = OC = R\), suy ra \(OB = OC = BC\)

\( \Rightarrow \Delta OBC\) đều \( \Rightarrow \angle ABC = {60^0}\)

Ta có: \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(AB \Rightarrow \angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow \angle CAB + \angle ABC = \angle ACB = {90^0}\) (định lý góc trong tam giác)

\( \Leftrightarrow \angle CAB = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)

* \(H\) là trung điểm của \(OB \Rightarrow HO = HB = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{R}{2}\)

Ta có: \(AH = AO + OH = R + \dfrac{R}{2} = \dfrac{{3R}}{2}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C,CH \bot AB\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,C{H^2} = AH.HB\\ \Leftrightarrow C{H^2} = \dfrac{{3R}}{2}.\dfrac{R}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow CH = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

b) Tiếp tuyến tại \(C\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) cắt tia \(AB\) tại \(I\). Chứng minh \(OD\) vuông góc với \(ID\).

Ta có: \(OC = OD = R \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại \(O\)

Lại có: \(OH \bot CD\)

\( \Rightarrow OH\) là đường cao đồng thời là đường phân giác của

\( \Rightarrow \angle COH = \angle DOH\)

Xét \(\Delta ICO\) và \(\Delta IDO\) có:

\(\left. \begin{array}{l}IO\,\,\,chung\\\angle IOC = \angle IOD\left( {cmt} \right)\\OC = OD = R\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ICO = \Delta IDO\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ICO = \angle IDO\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle ICO = {90^0}\) (vì \(CI\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(C\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle IDO = {90^0}\\ \Rightarrow ID \bot OD\end{array}\)\(\)

c) Chứng minh rằng: \(4HB.HI = 3{R^2}\)

\(\Delta COI\) vuông tại \(C,CH \bot OI\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,C{H^2} = OH.HI = HB.HI = \dfrac{{3{R^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 4HB.HI = 3{R^2}\end{array}\)

d) Hạ \(HG\) vuông góc với \(AD\). Tia đối của tia \(HG\) cắt \(CB\) tại \(E\). Tia \(OE\) cắt \(CI\) tại \(K\). Chứng minh: \(KB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).

\(\Delta ACD\) có \(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

\( \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại \(A\)

Mà \(\angle CAH = {30^0} \Rightarrow \angle CAD = {60^0} \Rightarrow \Delta ACD\) là tam giác đều

\(H\) là trung điểm \(OB \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}OA \Rightarrow OH = \dfrac{1}{3}AH\)

\( \Rightarrow O\) là trọng tâm của \(\Delta ACD\)

\( \Rightarrow O\) là trực tâm của \(\Delta ACD\)

\( \Rightarrow OC \bot AD\), mà \(HG \bot AD\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow CO//HG\)

Mà \(H\) là trung điểm của \(OB\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(BC\)

Xét \(\Delta COE\) và \(\Delta BOE\) có:

\(\left. \begin{array}{l}CE = EB\\OC = OB\\OE\,\,\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta COE = \Delta BOE\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle COE = \angle BOE\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta COK\) và \(\Delta BOK\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle COK = \angle BOK\\OK\,\,\,chung\\OC = OB\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta OCK = \Delta OBK\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle OCK = \angle OBK = {90^0}\)

\( \Rightarrow OB \bot KB\), mà \(B \in \left( O \right)\)

\( \Rightarrow KB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link