Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) dưới đây: \(A = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + y + x}} +

Câu hỏi số 563049:

Vận dụng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) dưới đây: \(A = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + y + x}} + \dfrac{{xy + y + x}}{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^2}}}\) (với \(x,y\) là các số thực dương).

A. \({A_{\min }} = \dfrac{{10}}{3} \Leftrightarrow x = y = 1\)

B. \({A_{\min }} = \dfrac{{12}}{5} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\)

C. \({A_{\min }} = \dfrac{{16}}{5} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{4}\)

D. \({A_{\min }} = \dfrac{{12}}{7} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:563049

Phương pháp giải

Đặt \(\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xy + y + z}} = a\left( {a > 0} \right) \Rightarrow A = a + \dfrac{1}{a}\)

Ta chứng minh bất đẳng thức \({\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 3\left( {xy + y + x} \right)\)

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xy + y + z}} = a\left( {a > 0} \right) \Rightarrow A = a + \dfrac{1}{a}\)

Ta chứng minh bất đẳng thức \({\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 3\left( {xy + y + x} \right)\)

Có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 3\left( {xy + y + x} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x + y + 1} \right)^2} - 6\left( {xy + y + z} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Đúng với mọi \(x,y\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = 1\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^2}}}{{xy + y + x}} \ge 3 \Rightarrow a \ge 3\) (vì \(x;y > 0\))

Có \(A = a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{{8a}}{9} + \left( {\dfrac{a}{9} + \dfrac{1}{a}} \right) \ge \dfrac{8}{9}.3 + 2\sqrt {\dfrac{a}{9}.\dfrac{1}{a}} = \dfrac{8}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{{10}}{3}\)

\( \Rightarrow A \ge \dfrac{{10}}{3}\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\\dfrac{a}{9} = \dfrac{1}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3 \Leftrightarrow x = y = 1\)

Vậy GTNN của \(A\) là \(\dfrac{{10}}{3} \Leftrightarrow x = y = 1\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.