Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) dưới đây: \(A = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + y + x}} +

Câu hỏi số 563049:

Vận dụng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) dưới đây: \(A = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + y + x}} + \dfrac{{xy + y + x}}{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^2}}}\) (với \(x,y\) là các số thực dương).

A. \({A_{\min }} = \dfrac{{10}}{3} \Leftrightarrow x = y = 1\)

B. \({A_{\min }} = \dfrac{{12}}{5} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\)

C. \({A_{\min }} = \dfrac{{16}}{5} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{4}\)

D. \({A_{\min }} = \dfrac{{12}}{7} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:563049

Phương pháp giải

Đặt \(\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xy + y + z}} = a\left( {a > 0} \right) \Rightarrow A = a + \dfrac{1}{a}\)

Ta chứng minh bất đẳng thức \({\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 3\left( {xy + y + x} \right)\)

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xy + y + z}} = a\left( {a > 0} \right) \Rightarrow A = a + \dfrac{1}{a}\)

Ta chứng minh bất đẳng thức \({\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 3\left( {xy + y + x} \right)\)

Có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 3\left( {xy + y + x} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x + y + 1} \right)^2} - 6\left( {xy + y + z} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Đúng với mọi \(x,y\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = 1\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^2}}}{{xy + y + x}} \ge 3 \Rightarrow a \ge 3\) (vì \(x;y > 0\))

Có \(A = a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{{8a}}{9} + \left( {\dfrac{a}{9} + \dfrac{1}{a}} \right) \ge \dfrac{8}{9}.3 + 2\sqrt {\dfrac{a}{9}.\dfrac{1}{a}} = \dfrac{8}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{{10}}{3}\)

\( \Rightarrow A \ge \dfrac{{10}}{3}\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\\dfrac{a}{9} = \dfrac{1}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3 \Leftrightarrow x = y = 1\)

Vậy GTNN của \(A\) là \(\dfrac{{10}}{3} \Leftrightarrow x = y = 1\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link