Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Điểm
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Điểm E thay đổi thuộc đoạn OC, nối AE cắt đường tròn (O) tại M.
a) Chứng minh 4 điểm O,B,M,E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh AE.AM không phụ thuộc vào vị trí của điểm E trên đoạn OC.
c) Xác định vị trí của E trên đoạn OC để MA=2MB.
d) Xác định vị trí của điểm E trên đoạn OC để chu vi ΔMAB đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
a) O,M cùng thuộc đường tròn đường kính BE
b) ΔAOE∼ΔAMB(g.g)⇒AE.AM=2R2 không đổi
c) ΔAOE∼ΔAMB(cmt)⇒OE=OC2
⇒E là trung điểm của OC
d) Ta có: CΔMAB=AB+AM+MB=2R+AM+MB
Vì AB=2R không đổi nên CΔMABmax⇔(AM+MB)max
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm (AM+MB)max
a) Ta có: AB⊥CD tại O⇒∠BOC=900⇒∠BOE=900
⇒ΔBOE vuông tại O⇒O thuộc đường tròn đường kính BE
M thuộc đường tròn đường kính AB⇒∠AMB=900
⇒ΔBME vuông tại M⇒M thuộc đường tròn đường kính BE
Vậy O,M thuộc đường tròn đường kính BE nên bốn điểm B,M,E,O cùng thuộc một đường tròn.
b) Xét ΔAOE và ΔAMB có:
∠BAMchung∠AOE=∠AMB=900}⇒ΔAOE∼ΔAMB(g.g)
⇒AEAB=AOAM⇒AE.AM=AO.AB=R.2R=2R2
Mà R không đổi nên AE.AM không đổi khi E thay đổi.
c) Ta có: ΔAOE∼ΔAMB(cmt)
⇒AOAM=OEMB⇒OE=AO.BMAM=R.BM2BM=R2=OC2
Lại có: E∈OC
⇒E là trung điểm của OC
d) Ta có: CΔMAB=AB+AM+MB=2R+AM+MB
Vì AB=2R không đổi nên CΔMABmax⇔(AM+MB)max
Ta có: (MA+MB)2≤(12+12)(MA2+MB2)
⇔(MA+MB)2≤2AB2 (vì ΔAMB vuông tại M⇒AB2=MA2+MB2 (định lý Py – ta – go)
⇔(MA+MB)2≤2(2R)2⇔MA+MB≤2√2R⇔MA+MB+AB≤2√2R+AB⇔CΔMAB≤2√2R+2R⇔CΔMAB≤2R(√2+1)
Dấu “=” xảy ra ⇔AM=BM
Mà ΔMAB vuông tại M
⇒ΔMAB là tam giác vuông cân
⇒E≡C
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
