Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau. Điểm

Câu hỏi số 564899:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau. Điểm \(E\) thay đổi thuộc đoạn \(OC,\) nối \(AE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\).

a) Chứng minh 4 điểm \(O,B,M,E\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh \(AE.AM\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(E\) trên đoạn \(OC\).

c) Xác định vị trí của \(E\) trên đoạn \(OC\) để \(MA = 2MB\).

d) Xác định vị trí của điểm \(E\) trên đoạn \(OC\) để chu vi \(\Delta MAB\) đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564899

Phương pháp giải

a) \(O,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BE\)

b) \(\Delta AOE \sim \Delta AMB\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow AE.AM = 2{R^2}\) không đổi

c) \(\Delta AOE \sim \Delta AMB\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow OE = \dfrac{{OC}}{2}\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(OC\)

d) Ta có: \({C_{\Delta MAB}} = AB + AM + MB = 2R + AM + MB\)

Vì \(AB = 2R\) không đổi nên \({C_{\Delta MAB}}\max \Leftrightarrow \left( {AM + MB} \right)\max \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm \(\left( {AM + MB} \right)\max \)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(AB \bot CD\) tại \(O \Rightarrow \angle BOC = {90^0} \Rightarrow \angle BOE = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta BOE\) vuông tại \(O \Rightarrow O\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\)

\(M\) thuộc đường tròn đường kính \(AB \Rightarrow \angle AMB = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta BME\) vuông tại \(M \Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\)

Vậy \(O,M\) thuộc đường tròn đường kính \(BE\) nên bốn điểm \(B,M,E,O\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét \(\Delta AOE\) và \(\Delta AMB\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle BAM\,\,\,chung\\\angle AOE = \angle AMB = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AOE \sim \Delta AMB\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AO}}{{AM}}\\ \Rightarrow AE.AM = AO.AB = R.2R = 2{R^2}\end{array}\)

Mà \(R\) không đổi nên \(AE.AM\) không đổi khi \(E\) thay đổi.

c) Ta có: \(\Delta AOE \sim \Delta AMB\left( {cmt} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AO}}{{AM}} = \dfrac{{OE}}{{MB}}\\ \Rightarrow OE = \dfrac{{AO.BM}}{{AM}} = \dfrac{{R.BM}}{{2BM}} = \dfrac{R}{2} = \dfrac{{OC}}{2}\end{array}\)

Lại có: \(E \in OC\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(OC\)

d) Ta có: \({C_{\Delta MAB}} = AB + AM + MB = 2R + AM + MB\)

Vì \(AB = 2R\) không đổi nên \({C_{\Delta MAB}}\max \Leftrightarrow \left( {AM + MB} \right)\max \)

Ta có: \({\left( {MA + MB} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {MA + MB} \right)^2} \le 2A{B^2}\) (vì \(\Delta AMB\) vuông tại \(M \Rightarrow A{B^2} = M{A^2} + M{B^2}\) (định lý Py – ta – go)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {MA + MB} \right)^2} \le 2{\left( {2R} \right)^2}\\ \Leftrightarrow MA + MB \le 2\sqrt 2 R\\ \Leftrightarrow MA + MB + AB \le 2\sqrt 2 R + AB\\ \Leftrightarrow {C_{\Delta MAB}} \le 2\sqrt 2 R + 2R\\ \Leftrightarrow {C_{\Delta MAB}} \le 2R\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow AM = BM\)

Mà \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\)

\( \Rightarrow \Delta MAB\) là tam giác vuông cân

\( \Rightarrow E \equiv C\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.