Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} - {e^{ - x}} + 2021x\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

Câu hỏi số 589647:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} - {e^{ - x}} + 2021x\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {3 - x} \right) + f\left( { - {x^3} + 3{x^2} + x + m - 6} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:589647

Phương pháp giải

- Chứng minh hàm số f(x) là hàm lẻ trên \(\mathbb{R}\).

- Chứng minh hàm số f(x) là đồng trên \(\mathbb{R}\).

- Sử dụng tương giao hàm số để biện luận tìm m.

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {e^{ - x}} - {e^x} - 2021x = - f\left( x \right)\)

Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\)

Lại có: \(f'\left( x \right) = {e^x} + {e^x} + 2021 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó hàm số f(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Theo giả thiết \(f\left( {3 - x} \right) + f\left( { - {x^3} + 3{x^2} + x + m - 6} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( {3 - x} \right) = - f\left( { - {x^3} + 3{x^2} + x + m - 6} \right)\\ \Leftrightarrow f\left( {3 - x} \right) = f\left( {{x^3} - 3{x^2} - x - m + 6} \right)\\ \Leftrightarrow 3 - x = {x^3} - 3{x^2} - x - m + 6\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3 = m\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm thực phân biệt thì (1) phải có 3 nghiệm thực phân biệt

Xét \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3\) ta có: \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).

Giải \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (1) có 3 nghiệm khi -1 < m < 3.

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.