Tìm số nguyên \(x\) sao cho biểu thức sau là số nguyên: a) \(D = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\)

Câu hỏi số 590880:

Vận dụng

Tìm số nguyên \(x\) sao cho biểu thức sau là số nguyên:

a) \(D = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\)

b) \(E = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\)

c) \(G = \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:590880

Phương pháp giải

Để \(P = \dfrac{{M\left( x \right)}}{{n\left( x \right)}}\) có giá trị nguyên

+ Bước 1: Biến đổi \(P = m\left( x \right) + \dfrac{k}{{n\left( x \right)}}\). Trong đó \(k\) là số nguyên

+ Bước 2: Lập luận: Để \(P\) có giá trị nguyên thì \(k \vdots n\left( x \right)\) hay \(n\left( x \right) \in U\left( k \right)\)

+ Bước 3: Lập bảng giá trị và kiểm tra \(x\) với điều kiện đã tìm

+ Bước 4: Kết luận

Giải chi tiết

a) \(D = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\) (điều kiện: \(x \ge 0\))

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x + 1 + 1}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\\ = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\)

Để \(D \in \mathbb{Z}\) thì \(\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\sqrt x \in \mathbb{Z}\) (\(x\) là số chính phương) hoặc \(\sqrt x \in I\) (là số vô tỉ)

TH1: \(\sqrt x \) là số vô tỉ \( \Rightarrow \sqrt x + 1\) là số vô tỉ

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\) là số vô tỉ (Loại)

TH2: \(\sqrt x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \mathbb{Z}\)

\(\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 1 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)\) hay \(\left( {\sqrt x + 1} \right) \in \)Ư\(\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy để \(D\) có giá trị nguyên thì \(x = 0\)

b) \(E = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\) (điều kiện: \(x \ge 0\))

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x + 2 - 5}}{{\sqrt x + 2}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}}\\ = 1 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}}\end{array}\)

Để \(E \in \mathbb{Z}\) thì \(\dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\sqrt x \in \mathbb{Z}\) (\(x\) là số chính phương) hoặc \(\sqrt x \in I\) (là số vô tỉ)

TH1: \(\sqrt x \) là số vô tỉ \( \Rightarrow \sqrt x + 2\) là số vô tỉ

\( \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}}\) là số vô tỉ (Loại)

TH2: \(\sqrt x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x + 2 \in \mathbb{Z}\)

\(\dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 5 \vdots \left( {\sqrt x + 2} \right)\) hay \(\left( {\sqrt x + 2} \right) \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy để \(E\) có giá trị nguyên thì \(x = 9\)

c) \(G = \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\) (điều kiện: \(x \ge 0\))

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x - 3 + 8}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{8}{{\sqrt x - 3}}\\ = 1 + \dfrac{8}{{\sqrt x - 3}}\end{array}\)

Để \(G \in \mathbb{Z}\) thì \(\dfrac{8}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\sqrt x \in \mathbb{Z}\) (\(x\) là số chính phương) hoặc \(\sqrt x \in I\) (là số vô tỉ)

TH1: \(\sqrt x \in I\) là số vô tỉ \( \Rightarrow \sqrt x - 3\) là số vô tỉ

\( \Rightarrow \dfrac{8}{{\sqrt x - 3}}\) là số vô tỉ (Loại)

TH2: \(\sqrt x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x - 3 \in \mathbb{Z}\)

\(\dfrac{8}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 8 \vdots \left( {\sqrt x - 3} \right)\) hay \(\left( {\sqrt x - 3} \right) \in \)Ư\(\left( 8 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy để \(G\)có giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {1;4;16;25;49;121} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.