Tìm số nguyên \(x\) sao cho biểu thức sau là số nguyên: a) \(A = \dfrac{2}{{\sqrt x - 3}}\) b) \(B =

Câu hỏi số 590879:

Vận dụng

Tìm số nguyên \(x\) sao cho biểu thức sau là số nguyên:

a) \(A = \dfrac{2}{{\sqrt x - 3}}\)

b) \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}}\)

c) \(C = \dfrac{7}{{\sqrt x + 3}}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:590879

Phương pháp giải

Để \(P = \dfrac{{M\left( x \right)}}{{n\left( x \right)}}\) có giá trị nguyên

+ Bước 1: Biến đổi \(P = m\left( x \right) + \dfrac{k}{{n\left( x \right)}}\). Trong đó \(k\) là số nguyên

+ Bước 2: Lập luận: Để \(P\) có giá trị nguyên thì \(k \vdots n\left( x \right)\) hay \(n\left( x \right) \in U\left( k \right)\)

+ Bước 3: Lập bảng giá trị và kiểm tra \(x\) với điều kiện đã tìm

+ Bước 4: Kết luận

Giải chi tiết

a) \(A = \dfrac{2}{{\sqrt x - 3}}\) (điều kiện: \(x > 0,x \ne 9\))

Để \(A \in \mathbb{Z}\) thì \(\dfrac{2}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\sqrt x \in \mathbb{Z}\) (\(x\) là số chính phương) hoặc \(\sqrt x \in I\) (là số vô tỉ)

TH1: \(\sqrt x \) là số vô tỉ \( \Rightarrow \sqrt x - 3\) là số vô tỉ

\( \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x - 3}}\) là số vô tỉ (Loại)

TH2: \(\sqrt x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x - 3 \in \mathbb{Z}\)

\(\dfrac{2}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 2 \vdots \left( {\sqrt x - 3} \right)\) hay \(\left( {\sqrt x - 3} \right) \in \)Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy để \(A\) có giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {1;4;16;25} \right\}\)

b) \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}}\left( {dk:x \ge 0} \right)\)

Để \(B \in \mathbb{Z}\) thì \(\dfrac{3}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\sqrt x \in \mathbb{Z}\) (\(x\) là số chính phương) hoặc \(\sqrt x \in I\) (là số vô tỉ)

TH1: \(\sqrt x \) là số vô tỉ \( \Rightarrow \sqrt x + 1\) là số vô tỉ

\( \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}}\) là số vô tỉ (Loại)

TH2: \(\sqrt x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \mathbb{Z}\)

\(\dfrac{3}{{\sqrt x + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) \(3 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)\) hay \(\left( {\sqrt x + 1} \right) \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy để \(B\)có giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {0;4} \right\}\)

c) \(C = \dfrac{7}{{\sqrt x + 3}}\left( {dk:x \ge 0} \right)\)

Để \(C \in \mathbb{Z}\) thì \(\dfrac{7}{{\sqrt x + 3}} \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\sqrt x \in \mathbb{Z}\) (\(x\) là số chính phương) hoặc \(\sqrt x \in I\) (là số vô tỉ)

TH1: \(\sqrt x \) là số vô tỉ \( \Rightarrow \sqrt x + 3\) là số vô tỉ

\( \Rightarrow \dfrac{7}{{\sqrt x + 3}}\) là số vô tỉ (Loại)

TH2: \(\sqrt x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x + 3 \in \mathbb{Z}\)

\(\dfrac{7}{{\sqrt x + 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \)\(7 \vdots \left( {\sqrt x + 3} \right)\) hay \(\left( {\sqrt x + 3} \right) \in \)Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 7} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy để \(C\) có giá trị nguyên thì \(x = 16\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.