Cho a, b là các số thực thỏa mãn \(a \ge 1,b \ge 1\) và \(a + b + 4 = 2ab\). Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi số 594795:

Vận dụng cao

Cho a, b là các số thực thỏa mãn \(a \ge 1,b \ge 1\) và \(a + b + 4 = 2ab\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - 1} }}{a} + \dfrac{{\sqrt {{b^2} - 1} }}{b} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:594795

Phương pháp giải

Đánh giá giả thiết đề bài cho, áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Vì \(a + b + 4 = 2ab\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2ab \ge 2\sqrt {ab} + 4\\ \Rightarrow ab - \sqrt {ab} - 2 \ge 0\\ \Rightarrow \left( {\sqrt {ab} + 1} \right)\left( {\sqrt {ab} - 2} \right) \ge 0\\ \Rightarrow \sqrt {ab} - 2 \ge 0\,\,\left( {do\,\,\sqrt {ab} > 0} \right)\\ \Rightarrow \sqrt {ab} \ge 2\\ \Rightarrow ab \ge 4\\F = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - 1} }}{a} + \dfrac{{\sqrt {{b^2} - 1} }}{b} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array}\)

Có: \(\sqrt {3\left( {{a^2} - 1} \right)} = \sqrt {3\left( {a - 1} \right)} .\sqrt {a + 1} \mathop \le \limits^{AM - GM} \dfrac{{3\left( {a - 1} \right) + \left( {a + 1} \right)}}{2} = 2a - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F \le \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\dfrac{{2a - 1}}{a} + \dfrac{{2b - 1}}{b}} \right) + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\\ \Rightarrow F \le \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {4 - \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}} \right) + \dfrac{1}{{2ab}}\\ \Rightarrow F \le \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{a + b}}{{ab}} + \dfrac{1}{{2ab}}\\ \Rightarrow F \le \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{2ab - 4}}{{ab}} + \dfrac{1}{{2ab}}\\ \Rightarrow F \le \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} + \left( {\dfrac{4}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{2}} \right).\dfrac{1}{{ab}}\end{array}\)

Vì \(ab \ge 4 \Rightarrow F \le \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} + \left( {\dfrac{4}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{2}} \right).\dfrac{1}{4} = \sqrt 3 + \dfrac{1}{8}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 2\)

Vậy GTLN của F là \(\sqrt 3 + \dfrac{1}{8}\) khi \(a = b = 2\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.