Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH (H thuộc BC). Kẻ \(HD \bot AB\) và \(HE
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường cao AH (H thuộc BC). Kẻ \(HD \bot AB\) và \(HE \bot AC\left( {D \in AB;E \in AC} \right)\).
a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.
b) Đường thẳng DE cắt cung nhỏ AC của đường tròn (O) tại M. Chứng minh \(OA \bot DE\) và AM = AH.
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
b) *\(OA \bot DE\)
Vẽ đường kính \(AQ\) của đường tròn \(\left( O \right)\)
Gọi giao điểm của \(OA\) và \(ED\) là \(K\).
Chứng minh: \(\angle QAC + \angle AQC = {90^o}\); \(\angle AED = \angle AQC\) từ đó suy ra \(\angle QAC + \angle AED = {90^o}\) từ đó chứng minh được \(OA \bot DE\)
*AM = AH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(A{H^2} = AE.AC;A{M^2} = AK.AQ \Rightarrow AM = AH\)
a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.
\(HD \bot AB\) tại \(D\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle ADH = {90^0}\)
\(HE \bot AC\) tại \(E\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AEH = {90^0}\)
Xét tứ giác AMHN có: \(\angle ADH + \angle AEH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow ADHE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Đường thẳng DE cắt cung nhỏ AC của đường tròn (O) tại M. Chứng minh \(OA \bot DE\) và AM = AH.
*\(OA \bot DE\)
Vẽ đường kính \(AQ\) của đường tròn \(\left( O \right)\)
Gọi giao điểm của \(OA\) và \(ED\) là \(K\).
Ta có: \(\angle ACQ = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tam giác \(AQC\) vuông tại \(C\) ta có: \(\angle QAC + \angle AQC = {90^o}\) (1)
Tứ giác \(AHDE\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle AED = \angle AHD\)
Mà \(\angle AHD + \angle BHD = {90^o}\)
Tam giác\(BDH\) vuông tại \(D\) có: \(\angle DBH + \angle DHB = {90^o}\)
Suy ra \(\angle AED = \angle DBH\)
Lại có \(\angle DBH = \angle AQC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))
Do đó \(\angle AED = \angle AQC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle QAC + \angle AED = {90^o}\) hay \(\angle KAE + \angle AEK = {90^o}\)
\( \Rightarrow \Delta AEK\) vuông tại \(K \Rightarrow AK \bot EK\) hay \(OA \bot DE\) (đpcm)
*AM = AH
Xét \(\Delta AKE\) và \(\Delta AQC\) ta có:
\(\angle QAC\) là góc chung
\(\angle ACQ = \angle AKE = {90^o}\)
Suy ra \(\Delta AKE\) đồng dạng \(\Delta AQC\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AE}} = \dfrac{{AC}}{{AQ}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow AK.AQ = AE.AC\) (*)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHC\) và \(AMQ\) ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = AE.AC\\A{M^2} = AK.AQ\end{array}\) (**)
Từ (*) và (**) ta có \(AH = AM\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
