Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a,\,\,BC = a\sqrt 3 \). Cạnh bên

Câu hỏi số 634554:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = 2a,\,\,BC = a\sqrt 3 \). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và đường thẳng \(SC\) tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({30^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).

A. \(V = 2{a^3}\sqrt {15} \).

B. \(V = \dfrac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634554

Phương pháp giải

Xác định góc giữa SC và (SAB) là góc giữa SC và hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB).

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính SB.

Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SAB tính SA.

Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,SB} \right) = \angle CSB = {30^0}\).

Tam giác SBC vuông tại B \( \Rightarrow SB = \dfrac{{BC}}{{\tan \angle CSB}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\tan {{30}^0}}} = 3a\).

Tam giác SAB vuông tại A \( \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {9{a^2} - 4{a^2}} = a\sqrt 5 \).

Diện tích đáy: \({S_{ABCD}} = AB.BC = 2\sqrt 3 {a^2}\).

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \dfrac{1}{3}.2\sqrt 3 {a^2}.a\sqrt 5 = \dfrac{{2\sqrt {15} {a^3}}}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.