Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\). Giá

Câu hỏi số 634553:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\). Giá trị lớn nhất của \(\left| z \right|\) bằng

A. \(2\sqrt 2 - 1\).

B. \(\sqrt 2 - 1\).

C. \(\sqrt 2 + 1\).

D. \(\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634553

Phương pháp giải

Nhận thấy \({z^2} + 2z + 2 = 0\) có 2 nghiệm \(z = - 1 \pm i \Rightarrow {z^2} + 2z + 2 = \left( {z + 1 - i} \right)\left( {z + 1 + i} \right)\).

Giải phương trình \(\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\).

Sử dụng hình học để tìm giá trị lớn nhất của \(\left| z \right|\).

Giải chi tiết

Giả sử \(\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {z + 1 - i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {z + 1 - i} \right)\left( {z + 1 + i} \right)} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|\).

\( \Leftrightarrow \left| {z + 1 - i} \right|\left| {z + 1 + i} \right| - \left| {z + 1 - i} \right| = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z + 1 - i} \right| = 0\,\,(1)\\\left| {z + 1 + i} \right| = 1\,\,(2)\end{array} \right.\)

(1) \( \Leftrightarrow z + 1 - i = 0 \Leftrightarrow z = - 1 + i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 2 \).

(2) \( \Leftrightarrow \) Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính \(R = 1\). Lại có: \(\left| z \right| = OM\).

Mà O nằm ngoài (I;R). Suy ra \({\left| z \right|_{\max }} = O{M_{\max }} = OI + R = \sqrt 2 + 1\).

Kết hợp 2 trường hợp, ta được: Giá trị lớn nhất của \(\left| z \right|\) bằng \(\sqrt 2 + 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.