Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|$ . Giá

Câu hỏi số 634553:

Vận dụng cao

Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|$ . Giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$ bằng

$2\sqrt 2 - 1$ .

$\sqrt 2 - 1$ .

$\sqrt 2 + 1$ .

$\sqrt 2$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634553

Phương pháp giải

Nhận thấy ${z^2} + 2z + 2 = 0$ có 2 nghiệm $z = - 1 \pm i \Rightarrow {z^2} + 2z + 2 = \left( {z + 1 - i} \right)\left( {z + 1 + i} \right)$ .

Giải phương trình $\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|$ .

Sử dụng hình học để tìm giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$ .

Giải chi tiết

Giả sử $\left| {{z^2} + 2z + 2} \right| = \left| {z + 1 - i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {z + 1 - i} \right)\left( {z + 1 + i} \right)} \right| = \left| {z + 1 - i} \right|$ .

$\Leftrightarrow \left| {z + 1 - i} \right|\left| {z + 1 + i} \right| - \left| {z + 1 - i} \right| = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z + 1 - i} \right| = 0\,\,(1)\\\left| {z + 1 + i} \right| = 1\,\,(2)\end{array} \right.$

(1) $\Leftrightarrow z + 1 - i = 0 \Leftrightarrow z = - 1 + i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt 2$ .

(2) $\Leftrightarrow$ Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính $R = 1$ . Lại có: $\left| z \right| = OM$ .

Mà O nằm ngoài (I;R). Suy ra ${\left| z \right|_{\max }} = O{M_{\max }} = OI + R = \sqrt 2 + 1$ .

Kết hợp 2 trường hợp, ta được: Giá trị lớn nhất của $\left| z \right|$ bằng $\sqrt 2 + 1$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.