Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ . Biết \(SA =

Câu hỏi số 634556:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ . Biết $SA = a,AB = a$ và $AD = 2a$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$ . Khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng

\frac{a}{3}

$\dfrac{a}{3}$ .

\frac{2 a}{9}

$\dfrac{{2a}}{9}$ .

\frac{2 a}{3}

$\dfrac{{2a}}{3}$ .

\frac{a}{6}

$\dfrac{a}{6}$ .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634556

Phương pháp giải

Chuyển tính khoảng cách từ G sang tính khoảng cách từ A: $\dfrac{{GI}}{{AI}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)$ .

Dựng AE vuông góc BD, AH vuông góc SE. Chứng minh $AH \bot \left( {SBD} \right)$ .

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của SD $\Rightarrow AG \cap \left( {SBD} \right) = \left\{ I \right\}$ .

Ta có: $\dfrac{{GI}}{{AI}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)$ .

Dựng AE vuông góc BD, AH vuông góc SE ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AE\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BD \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BD\\AH \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right)\end{array}$

$\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH$ .

Tam giác ABD vuông tại A, đường cao AE $\Rightarrow AE = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$ .

Tam giác SAE vuông tại A, đường cao AH $\Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{2{a^2}}}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{{3a}} = \dfrac{{2a}}{3}$ .

$\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{2a}}{3} \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{2a}}{9}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.