Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng $a$ . Gọi $M,\,\,P$ lần lượt là hai điểm di động trên

Câu hỏi số 650712:

Vận dụng cao

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng $a$ . Gọi $M,\,\,P$ lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $AM = CP = x\,\,\left( {0 < x < a} \right)$ . Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $MP$ song song với $CD$ .

a) Xác định giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ , $\left( \alpha \right)$ và $\left( {ABD} \right)$

b) Giá trị nhỏ nhất của tứ giác hình thành bởi các giao tuyến tạo bởi $\left( \alpha \right)$ và các mặt của tứ diện

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:650712

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Ta có: $\left. \begin{array}{l}CD\parallel \left( \alpha \right)\\CD \subset \left( {ACD} \right)\\M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN\parallel CD\,\,\left( {N \in AC} \right)$

Tương tự ta có $\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ\parallel CD\,\,\left( {Q \in BD} \right)$

Khi đó $\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ,\,\,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = NP$

b) Vì $MN\parallel PQ$ nên $MNPQ$ là hình thang

Dễ thấy $DQ = CP = x,\,\,DM = a - x,\,\,MN = x,\,\,PQ = a - x$

Áp dụng định lý cosin vào $\Delta DMQ$ ta có: $M{Q^2} = D{M^2} + D{Q^2} - 2DM.DQ.\cos {60^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M{Q^2} = 3{x^2} - 3ax + {a^2}\\ \Rightarrow MQ = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \end{array}$

Tương tự ta có $NP = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}}$

Do đó $MNPQ$ là hình thang cân

${S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right)\sqrt {N{P^2} - \dfrac{{{{\left( {MN - PQ} \right)}^2}}}{4}} }}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt {8{x^2} - 8ax + 3{a^2}} = \dfrac{a}{2}\sqrt {8{{\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} \ge \dfrac{{{a^2}}}{2}$

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $x = \dfrac{a}{2}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.