Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,P\) lần lượt là hai điểm di động trên
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,P\) lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AM = CP = x\,\,\left( {0 < x < a} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(MP\) song song với \(CD\).
a) Xác định giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\)
b) Giá trị nhỏ nhất của tứ giác hình thành bởi các giao tuyến tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) và các mặt của tứ diện
Quảng cáo
a) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}CD\parallel \left( \alpha \right)\\CD \subset \left( {ACD} \right)\\M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN\parallel CD\,\,\left( {N \in AC} \right)\)
Tương tự ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ\parallel CD\,\,\left( {Q \in BD} \right)\)
Khi đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ,\,\,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = NP\)
b) Vì \(MN\parallel PQ\) nên \(MNPQ\) là hình thang
Dễ thấy \(DQ = CP = x,\,\,DM = a - x,\,\,MN = x,\,\,PQ = a - x\)
Áp dụng định lý cosin vào \(\Delta DMQ\) ta có: \(M{Q^2} = D{M^2} + D{Q^2} - 2DM.DQ.\cos {60^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{Q^2} = 3{x^2} - 3ax + {a^2}\\ \Rightarrow MQ = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \end{array}\)
Tương tự ta có \(NP = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \)
Do đó \(MNPQ\) là hình thang cân
\({S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right)\sqrt {N{P^2} - \dfrac{{{{\left( {MN - PQ} \right)}^2}}}{4}} }}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt {8{x^2} - 8ax + 3{a^2}} = \dfrac{a}{2}\sqrt {8{{\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} \ge \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = \dfrac{a}{2}\) .
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
