Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,P\) lần lượt là hai điểm di động trên

Câu hỏi số 650712:

Vận dụng cao

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,P\) lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AM = CP = x\,\,\left( {0 < x < a} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(MP\) song song với \(CD\).

a) Xác định giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\)

b) Giá trị nhỏ nhất của tứ giác hình thành bởi các giao tuyến tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) và các mặt của tứ diện

Xem lời giải

Câu hỏi:650712

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}CD\parallel \left( \alpha \right)\\CD \subset \left( {ACD} \right)\\M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN\parallel CD\,\,\left( {N \in AC} \right)\)

Tương tự ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ\parallel CD\,\,\left( {Q \in BD} \right)\)

Khi đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ,\,\,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = NP\)

b) Vì \(MN\parallel PQ\) nên \(MNPQ\) là hình thang

Dễ thấy \(DQ = CP = x,\,\,DM = a - x,\,\,MN = x,\,\,PQ = a - x\)

Áp dụng định lý cosin vào \(\Delta DMQ\) ta có: \(M{Q^2} = D{M^2} + D{Q^2} - 2DM.DQ.\cos {60^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{Q^2} = 3{x^2} - 3ax + {a^2}\\ \Rightarrow MQ = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \end{array}\)

Tương tự ta có \(NP = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \)

Do đó \(MNPQ\) là hình thang cân

\({S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right)\sqrt {N{P^2} - \dfrac{{{{\left( {MN - PQ} \right)}^2}}}{4}} }}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt {8{x^2} - 8ax + 3{a^2}} = \dfrac{a}{2}\sqrt {8{{\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} \ge \dfrac{{{a^2}}}{2}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = \dfrac{a}{2}\) .

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.