Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,P\) lần lượt là hai điểm di động trên

Câu hỏi số 650712:

Vận dụng cao

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,P\) lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh \(AD\) và \(BC\) sao cho \(AM = CP = x\,\,\left( {0 < x < a} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(MP\) song song với \(CD\).

a) Xác định giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\)

b) Giá trị nhỏ nhất của tứ giác hình thành bởi các giao tuyến tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) và các mặt của tứ diện

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:650712

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}CD\parallel \left( \alpha \right)\\CD \subset \left( {ACD} \right)\\M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN\parallel CD\,\,\left( {N \in AC} \right)\)

Tương tự ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ\parallel CD\,\,\left( {Q \in BD} \right)\)

Khi đó \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ,\,\,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = NP\)

b) Vì \(MN\parallel PQ\) nên \(MNPQ\) là hình thang

Dễ thấy \(DQ = CP = x,\,\,DM = a - x,\,\,MN = x,\,\,PQ = a - x\)

Áp dụng định lý cosin vào \(\Delta DMQ\) ta có: \(M{Q^2} = D{M^2} + D{Q^2} - 2DM.DQ.\cos {60^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{Q^2} = 3{x^2} - 3ax + {a^2}\\ \Rightarrow MQ = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \end{array}\)

Tương tự ta có \(NP = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} \)

Do đó \(MNPQ\) là hình thang cân

\({S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right)\sqrt {N{P^2} - \dfrac{{{{\left( {MN - PQ} \right)}^2}}}{4}} }}{2} = \dfrac{a}{2}\sqrt {8{x^2} - 8ax + 3{a^2}} = \dfrac{a}{2}\sqrt {8{{\left( {x - \dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} \ge \dfrac{{{a^2}}}{2}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = \dfrac{a}{2}\) .

Chú ý khi giải

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.