Xét các số phức thoả mãn \(\left| {{z^2} - 6z + 5 - 3i} \right| = 4\left| {z - 3} \right|\). Gọi M và m

Câu hỏi số 666113:

Vận dụng cao

Xét các số phức thoả mãn \(\left| {{z^2} - 6z + 5 - 3i} \right| = 4\left| {z - 3} \right|\). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - 3} \right|\). Giá trị của biểu thức 3M – 2m bằng:

A. 13.

B. 8.

C. 73.

D. 10.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:666113

Phương pháp giải

Đặt \(w = z - 3\).

Sử dụng BĐT tam giác: \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \ge \left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right|\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{z^2} - 6z + 5 - 3i} \right| = 4\left| {z - 3} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z - 3} \right)}^2} - 3i - 4} \right| = 4\left| {z - 3} \right|\end{array}\)

Đặt \(w = z - 3\) ta có: \(\left| {{w^2} - \left( {4 + 3i} \right)} \right| = 4\left| w \right|\).

Áp dụng BĐT tam giác ta có:

\(4\left| w \right| = \left| {{w^2} - \left( {4 + 3i} \right)} \right| \ge \left| {\left| {{w^2}} \right| - \left| {4 + 3i} \right|} \right| = \left| {{{\left| w \right|}^2} - 5} \right|\) (Vì \(\left| {{w^2}} \right| = {\left| w \right|^2}\)).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {w^2} = k\left( { - 4 - 3i} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 16{\left| w \right|^2} \ge {\left( {{{\left| w \right|}^2} - 5} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16{\left| w \right|^2} \ge {\left| w \right|^4} - 10{\left| w \right|^2} + 25\\ \Leftrightarrow {\left| w \right|^4} - 26{\left| w \right|^2} + 25 \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le {\left| w \right|^2} \le 25\\ \Leftrightarrow 1 \le \left| w \right| \le 5\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - 3} \right| = \left| w \right|\) bằng 1 và giá trị lớn nhất của \(\left| {z - 3} \right| = \left| w \right|\) bằng 5 nên m = 1 và M = 5.

Vậy 3M – 2m = 3.5 – 2.1 = 13.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.