Cho đường tròn (O) tâm O bán kính R và điểm A nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với

Câu hỏi số 670332:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) tâm O bán kính R và điểm A nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn tại B, C. Gọi M là điểm thuộc cung lớn BC. Từ M kẻ \(MH \bot BC,\) \(MK \bot AC,\) \(MI \bot AB\).

a) Chứng minh tứ giác MIBH nội tiếp.

b) Giả sử AB = 2R. Tính diện tích tứ giác ABOC.

c) Chứng minh: \(MI.MK = M{H^2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670332

Phương pháp giải

a) Chứng minh MIBH có hai tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) nên là tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta chứng minh được \(\Delta OAB = \Delta OAC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \({S_{ABOC}} = 2.{S_{OAB}}\)

c) Chứng minh MKCH có hai tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) nên là tứ giác nội tiếp

Sử dụng tính chất góc góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và cây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Từ đó \( \Rightarrow \Delta MHI \sim \Delta MKH\,\,\left( {g.g} \right)\), suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Giải chi tiết

a) Ta có \(MI \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MIB = {90^0}\)

\(MH \bot BC\,\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MHB = {90^0}\)

Xét tứ giác MIBH có \(\angle MIB + \angle MHB = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow MIBH\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (đpcm).

b) Tam giác AOB có \(AB \bot OB\) (giá trị) nên \(\Delta AOB\) vuông tại B.

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \dfrac{{OB.AB}}{2} = \dfrac{{R.2R}}{2} = {R^2}\).

Xét tam giác OAB và tam giác OAC có:

\(\left. \begin{array}{l}OB = OC\,\,\left( { = R} \right)\\AO\,\,chung\\\widehat B = \widehat C = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta OAB = \Delta OAC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = {S_{OAC}} = {R^2}\)

\( \Rightarrow {S_{ABOC}} = {S_{OAB}} + {S_{OAC}} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}\).

c) Ta có

\(MK \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AKC = {90^0}\)

\(MH \bot BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MHC = {90^0}\)

\(\angle AKC + \angle HMC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác MKCH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

\( \Rightarrow \angle MCK = \angle MHK\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

Mà \(\angle MCK = \angle MBC = \angle MBH\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC).

\(\angle MBH = \angle MIH\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MH)

\( \Rightarrow \angle MHK = \angle MIH\,\,\,\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\angle MHI = \angle MBI\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MI).

Mà \(\angle MBI = \angle MCB = \angle MCH\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM).

\(\angle MCH = \angle MKH\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MH)

\( \Rightarrow \angle MHI = \angle MKH\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Xét \(\Delta MHI\) và \(\Delta MKH\) có:

\(\begin{array}{l}\angle MIH = \angle MHK\,\,\,\left( {theo\,\,\left( 1 \right)} \right)\\\angle MHI = \angle MKH\,\,\,\,\left( {theo\,\,\left( 2 \right)} \right)\\ \Rightarrow \Delta MHI \sim \Delta MKH\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MH}}{{MK}} = \dfrac{{MI}}{{MH}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow MI.MK = M{H^2}\,\,\left( {dpcm} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link