Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện \(a + b = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 670333:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện \(a + b = 2\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \left( {1 - \dfrac{4}{{{a^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{4}{{{b^2}}}} \right)\)

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức M về dạng xuất hiện a.b

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương: \(ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = \left( {1 - \dfrac{4}{{{a^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{4}{{{b^2}}}} \right)\\M = \left( {\dfrac{{{a^2} - 4}}{{{a^2}}}} \right)\left( {\dfrac{{{b^2} - 4}}{{{b^2}}}} \right)\\M = \left( {\dfrac{{{a^2} - {{(a + b)}^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {\dfrac{{{b^2} - {{(a + b)}^2}}}{{{b^2}}}} \right)\\M = \left( {\dfrac{{ - 2ab - {b^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {\dfrac{{ - 2ab - {a^2}}}{{{b^2}}}} \right)\\M = \dfrac{{\left( {2a + b} \right)\left( { - b} \right)}}{{{a^2}}}.\dfrac{{\left( {a + 2b} \right)\left( { - a} \right)}}{{{b^2}}}\\M = \dfrac{{\left( {2a + b} \right)\left( {a + 2b} \right)}}{{ab}} = \dfrac{{\left( {a + a + b} \right)\left( {a + b + b} \right)}}{{ab}}\\M = \dfrac{{\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)}}{{ab}} = \dfrac{{ab + 2\left( {a + b} \right) + 4}}{{ab}}\\M = \dfrac{{ab + 8}}{{ab}} = 1 + \dfrac{8}{{ab}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

\(\begin{array}{l}ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{2}{2}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{8}{{ab}} \ge 8\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{8}{{ab}} \ge 9\\ \Rightarrow M \ge 9\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \) \(a = b = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 9 khi \(a = b = 1\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:670333

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.