Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện \(a + b = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 670333:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện \(a + b = 2\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \left( {1 - \dfrac{4}{{{a^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{4}{{{b^2}}}} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670333

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức M về dạng xuất hiện a.b

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương: \(ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = \left( {1 - \dfrac{4}{{{a^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{4}{{{b^2}}}} \right)\\M = \left( {\dfrac{{{a^2} - 4}}{{{a^2}}}} \right)\left( {\dfrac{{{b^2} - 4}}{{{b^2}}}} \right)\\M = \left( {\dfrac{{{a^2} - {{(a + b)}^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {\dfrac{{{b^2} - {{(a + b)}^2}}}{{{b^2}}}} \right)\\M = \left( {\dfrac{{ - 2ab - {b^2}}}{{{a^2}}}} \right)\left( {\dfrac{{ - 2ab - {a^2}}}{{{b^2}}}} \right)\\M = \dfrac{{\left( {2a + b} \right)\left( { - b} \right)}}{{{a^2}}}.\dfrac{{\left( {a + 2b} \right)\left( { - a} \right)}}{{{b^2}}}\\M = \dfrac{{\left( {2a + b} \right)\left( {a + 2b} \right)}}{{ab}} = \dfrac{{\left( {a + a + b} \right)\left( {a + b + b} \right)}}{{ab}}\\M = \dfrac{{\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)}}{{ab}} = \dfrac{{ab + 2\left( {a + b} \right) + 4}}{{ab}}\\M = \dfrac{{ab + 8}}{{ab}} = 1 + \dfrac{8}{{ab}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

\(\begin{array}{l}ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{2}{2}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{8}{{ab}} \ge 8\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{8}{{ab}} \ge 9\\ \Rightarrow M \ge 9\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \) \(a = b = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 9 khi \(a = b = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link