1) Cho phương trình: \({x^2} - (m + 3)x + \dfrac{1}{4}{m^2} + 1 = 0\) (m là tham số). Tìm tất cả giá trị

Câu hỏi số 671207:

Vận dụng

1) Cho phương trình: \({x^2} - (m + 3)x + \dfrac{1}{4}{m^2} + 1 = 0\) (m là tham số). Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) và thỏa mãn điều kiện \(2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 8{x_1}.{x_2} = 34\).

2) Trong hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng \((d):y = ax - 4\) và \(\left( {{d_1}} \right):y = - 3x + 2\).

a) Biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;5). Tìm a.

b) Tìm toạ độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục hoành, trục tung. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\).

Phương pháp giải

1) Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Điều kiện để PT có hai nghiệm phân biệt \(\Delta > 0\)

Sử dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

a) Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng d,

b) Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) cắt trục Ox tại \(A\left( {\dfrac{{ - b}}{a};0} \right)\), cắt Oy tại \(B(0;b)\)

Từ đó dựng đường vuông góc và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

1) Xét phương trình \({x^2} - (m + 3)x + \dfrac{1}{4}{m^2} + 1 = 0\) có

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left[ { - \left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 4\left( {\dfrac{1}{4}{m^2} + 1} \right)\\\,\,\,\, = {m^2} + 6m + 9 - {m^2} - 4\\\,\,\,\, = 6m + 5\end{array}\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 6m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 5}}{6}\)

Áp dụng định lí Vi – ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 3\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{4}{m^2} + 1\end{array} \right.\).

Khi đó \(2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 8{x_1}.{x_2} = 34\) trở thành

\(\begin{array}{l}2{\left( {m + 3} \right)^2} - 8\left( {\dfrac{1}{4}{m^2} + 1} \right) = 34\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} + 6m + 9} \right) - 2{m^2} - 8 = 34\\ \Leftrightarrow 12m + 10 = 34\\ \Leftrightarrow 12m = 24\\ \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy m = 2.

2) Trong hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng \((d):y = ax - 4\) và \(\left( {{d_1}} \right):y = - 3x + 2\).

a) Thay toạ độ điểm A(-1; 5) vào phương trình đường thẳng d ta có:

\(5 = a.\left( { - 1} \right) - 4 \Leftrightarrow a = - 9\).

Vậy \(a = - 9\).

+) Tìm giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục hoành:

Cho \(y = 0 \Leftrightarrow 0 = - 3x + 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\).

Vậy giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục hoành là \(B\left( {\dfrac{2}{3};0} \right)\).

+) Tìm giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục tung:

Cho \(x = 0 \Leftrightarrow y = - 3.0 + 2 \Leftrightarrow y = 2\).

Vậy giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục tung là \(C\left( {0;2} \right)\).

Vậy giao của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục hoành, trục tung lần lượt là \(B\left( {\dfrac{2}{3};0} \right)\); \(C\left( {0;2} \right)\).

Vì B, C thuộc trục Ox và Oy nên OC vuông góc với OB

\( \Rightarrow \) Tam giác OBC vuông tại O và \(OB = \dfrac{2}{3},\,\,OC = 2\).

Kẻ \(OH \bot BC \Rightarrow \) Khoảng cách từ O đến BC bằng OH.

Xét tam giác OCB vuông tại O, đường cao OH ta có:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} = \dfrac{5}{2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\( \Rightarrow OH = \sqrt {\dfrac{2}{5}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\)

Vậy khoảng cách từ O đến BC là \(OH = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:671207

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.