1) Cho phương trình: \({x^2} - (m + 3)x + \dfrac{1}{4}{m^2} + 1 = 0\) (m là tham số). Tìm tất cả giá trị

Câu hỏi số 671207:

Vận dụng

1) Cho phương trình: \({x^2} - (m + 3)x + \dfrac{1}{4}{m^2} + 1 = 0\) (m là tham số). Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) và thỏa mãn điều kiện \(2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 8{x_1}.{x_2} = 34\).

2) Trong hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng \((d):y = ax - 4\) và \(\left( {{d_1}} \right):y = - 3x + 2\).

a) Biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;5). Tìm a.

b) Tìm toạ độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục hoành, trục tung. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671207

Phương pháp giải

1) Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Điều kiện để PT có hai nghiệm phân biệt \(\Delta > 0\)

Sử dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

a) Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng d,

b) Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) cắt trục Ox tại \(A\left( {\dfrac{{ - b}}{a};0} \right)\), cắt Oy tại \(B(0;b)\)

Từ đó dựng đường vuông góc và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

1) Xét phương trình \({x^2} - (m + 3)x + \dfrac{1}{4}{m^2} + 1 = 0\) có

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left[ { - \left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 4\left( {\dfrac{1}{4}{m^2} + 1} \right)\\\,\,\,\, = {m^2} + 6m + 9 - {m^2} - 4\\\,\,\,\, = 6m + 5\end{array}\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 6m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 5}}{6}\)

Áp dụng định lí Vi – ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 3\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{4}{m^2} + 1\end{array} \right.\).

Khi đó \(2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 8{x_1}.{x_2} = 34\) trở thành

\(\begin{array}{l}2{\left( {m + 3} \right)^2} - 8\left( {\dfrac{1}{4}{m^2} + 1} \right) = 34\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} + 6m + 9} \right) - 2{m^2} - 8 = 34\\ \Leftrightarrow 12m + 10 = 34\\ \Leftrightarrow 12m = 24\\ \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy m = 2.

2) Trong hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng \((d):y = ax - 4\) và \(\left( {{d_1}} \right):y = - 3x + 2\).

a) Thay toạ độ điểm A(-1; 5) vào phương trình đường thẳng d ta có:

\(5 = a.\left( { - 1} \right) - 4 \Leftrightarrow a = - 9\).

Vậy \(a = - 9\).

+) Tìm giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục hoành:

Cho \(y = 0 \Leftrightarrow 0 = - 3x + 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\).

Vậy giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục hoành là \(B\left( {\dfrac{2}{3};0} \right)\).

+) Tìm giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục tung:

Cho \(x = 0 \Leftrightarrow y = - 3.0 + 2 \Leftrightarrow y = 2\).

Vậy giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục tung là \(C\left( {0;2} \right)\).

Vậy giao của \(\left( {{d_1}} \right)\) với trục hoành, trục tung lần lượt là \(B\left( {\dfrac{2}{3};0} \right)\); \(C\left( {0;2} \right)\).

Vì B, C thuộc trục Ox và Oy nên OC vuông góc với OB

\( \Rightarrow \) Tam giác OBC vuông tại O và \(OB = \dfrac{2}{3},\,\,OC = 2\).

Kẻ \(OH \bot BC \Rightarrow \) Khoảng cách từ O đến BC bằng OH.

Xét tam giác OCB vuông tại O, đường cao OH ta có:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} = \dfrac{5}{2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\( \Rightarrow OH = \sqrt {\dfrac{2}{5}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\)

Vậy khoảng cách từ O đến BC là \(OH = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link