Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C không trùng B sao cho AC

Câu hỏi số 671330:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy điểm C không trùng B sao cho AC > BC. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại D. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, E là giao điểm của hai đường thẳng OD và AC.

a) Chứng minh tứ giác AOCD nội tiếp.

b) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng CD và AB. Chứng minh CB là tia phân giác của góc HCF.

c) Chứng minh \(AO.AH = 2A{E^2}\)

d) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CH. Chứng minh M là trung điểm của CH.

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác AOCD có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp,

b) Sử dụng tính chất góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC thì bằng nhau.

Và hai góc cùng phụ với góc thứ 3.

c) Chứng minh \(\Delta AEO \backsim \Delta AHC\left( {g.g} \right)\) suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

d) Gọi N là giao điểm của AC và BD.

Chứng minh CN là phân giác của \(\angle MCD\), CB là phân giác ngoài tại đỉnh C của \(\Delta CDM\)

Sử dụng tính chất phân giác.

Chứng minh CH // AD, sử dụng định lí Talet.

\( \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{AD}} = \dfrac{{HM}}{{AD}} \Rightarrow CM = HM \Rightarrow M\)

Giải chi tiết

a) Do DA, AC là tiếp tuyến nên \(DA \bot OA,DC \bot OC\)

\( \Rightarrow \angle DAO = \angle DCO = {90^0}\)

Xét tứ giác AOCD có \(\angle DAO + \angle DCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Suy ra AOCD nội tiếp (tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (dhnb) (đpcm)

b) Ta có \(\angle BCF = \angle FAC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)

\(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle BCH = \angle BAC\) (cùng phụ với góc CBA)

\( \Rightarrow \angle FCB = \angle BCH\left( { = \angle FAC} \right)\)

\( \Rightarrow BC\) là phân giác của góc HCF

c) Ta có DA = DC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \) D thuộc trung trực của AC

OA = OC (cùng bằng bán kính của (O)

\( \Rightarrow \) O thuộc trung trực của AC

\( \Rightarrow DO\) là trung trực của AC.

\( \Rightarrow DO \bot AC\) tại E là trung điểm của AC.

Xét \(\Delta AEO\) và \(\Delta AHC\) có

\(\angle HAC\) chung

\(\angle AEO = \angle AHC\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AEO \backsim \Delta AHC\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AH}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow AO.AH = AE.AC = AE.2AE = 2A{E^2}\).

Vậy \(AO.AH = 2A{E^2}\) (đpcm).

d) Gọi N là giao điểm của AC và BD.

Vì CB là phân giác của góc HCF (theo câu b).

Mà \(\angle ACB = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CB \bot CA\).

Mà \(\angle HCF\) kề bù với \(\angle HCD\).

\( \Rightarrow CA\) là phân giác của góc \(\angle HCD\), \(CB\) là phân giác ngoài của \(\angle HCD\).

Áp dụng định lí đường phân giác ta có: \(\dfrac{{CM}}{{CD}} = \dfrac{{NM}}{{ND}} = \dfrac{{BM}}{{BD}}\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\AD \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CH//AD\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \) Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{NM}}{{ND}} = \dfrac{{CM}}{{AD}},\,\,\dfrac{{BM}}{{BD}} = \dfrac{{HM}}{{AD}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{AD}} = \dfrac{{HM}}{{AD}} \Rightarrow CM = HM \Rightarrow M\) là trung điểm của CH (đpcm).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:671330

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.