Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 + \dfrac{4}{{{y^2}}}} \right) = 12\\2\sqrt {x + 3y

Câu hỏi số 671331:

Vận dụng cao

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 + \dfrac{4}{{{y^2}}}} \right) = 12\\2\sqrt {x + 3y + 2} = 3\sqrt y + \sqrt {x + 2} \end{array} \right.\)

Phương pháp giải

Đặt \(a = \sqrt {x + 2} ;b = \sqrt y \,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\)

Từ đó giải phương trình tìm a, b.

Suy ra ẩn chính.

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 + \dfrac{4}{{{y^2}}}} \right) = 12 & & (1)\\2\sqrt {x + 3y + 2} = 3\sqrt y + \sqrt {x + 2} & (2)\end{array} \right.\) (ĐKXĐ: \(x \ge - 2;y \ge 0\))

Đặt \(a = \sqrt {x + 2} ;b = \sqrt y \,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} = x + 2;\,\,\,{b^2} = y\\ \Rightarrow x + 3y + 2 = {a^2} + 3{b^2}\end{array}\)

Khi đó (2) trở thành: \(2\sqrt {{a^2} + 3{b^2}} = a + 3b\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right) = {\left( {a + 3b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{a^2} + 12{b^2} = {a^2} + 6ab + 9{b^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - 6ab + 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow 3{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a - b = 0\\ \Leftrightarrow a = b\\ \Rightarrow \sqrt {x + 2} = \sqrt y \,\\ \Leftrightarrow x + 2 = y\end{array}\)

Thay vào (1) ta được: \({x^2}\left( {1 + \dfrac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right) = 12\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 4} \right] = 12{\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 4x + 8} \right) = 12\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} + 8{x^2} = 12{x^2} + 48x + 48\\ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} - 4{x^2} - 48x - 48 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} + 6{x^3} + 12{x^2} - 2{x^3} - 12{x^2} - 24x - 4{x^2} - 24x - 48 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) - 2x\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) - 4\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 5 \\{x^2} + 6x + 12 = 0\,(VN)\end{array} \right.\end{array}\)

Với\(x = 1 + \sqrt 5 \Rightarrow y = 1 + \sqrt 5 + 2 = 3 + \sqrt 5 \)

Với\(x = 1 - \sqrt 5 \Rightarrow y = 1 - \sqrt 5 + 2 = 3 - \sqrt 5 \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1 + \sqrt 5 ;3 + \sqrt 5 } \right)\) hoặc\(\left( {x;y} \right) = \left( {1 - \sqrt 5 ;3 - \sqrt 5 } \right)\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:671331

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.