Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 + \dfrac{4}{{{y^2}}}} \right) = 12\\2\sqrt {x + 3y

Câu hỏi số 671331:

Vận dụng cao

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 + \dfrac{4}{{{y^2}}}} \right) = 12\\2\sqrt {x + 3y + 2} = 3\sqrt y + \sqrt {x + 2} \end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671331

Phương pháp giải

Đặt \(a = \sqrt {x + 2} ;b = \sqrt y \,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\)

Từ đó giải phương trình tìm a, b.

Suy ra ẩn chính.

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 + \dfrac{4}{{{y^2}}}} \right) = 12 & & (1)\\2\sqrt {x + 3y + 2} = 3\sqrt y + \sqrt {x + 2} & (2)\end{array} \right.\) (ĐKXĐ: \(x \ge - 2;y \ge 0\))

Đặt \(a = \sqrt {x + 2} ;b = \sqrt y \,\,\left( {a,b \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} = x + 2;\,\,\,{b^2} = y\\ \Rightarrow x + 3y + 2 = {a^2} + 3{b^2}\end{array}\)

Khi đó (2) trở thành: \(2\sqrt {{a^2} + 3{b^2}} = a + 3b\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + 3{b^2}} \right) = {\left( {a + 3b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{a^2} + 12{b^2} = {a^2} + 6ab + 9{b^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - 6ab + 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow 3{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a - b = 0\\ \Leftrightarrow a = b\\ \Rightarrow \sqrt {x + 2} = \sqrt y \,\\ \Leftrightarrow x + 2 = y\end{array}\)

Thay vào (1) ta được: \({x^2}\left( {1 + \dfrac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right) = 12\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 4} \right] = 12{\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 4x + 8} \right) = 12\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} + 8{x^2} = 12{x^2} + 48x + 48\\ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} - 4{x^2} - 48x - 48 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} + 6{x^3} + 12{x^2} - 2{x^3} - 12{x^2} - 24x - 4{x^2} - 24x - 48 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) - 2x\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) - 4\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 5 \\{x^2} + 6x + 12 = 0\,(VN)\end{array} \right.\end{array}\)

Với\(x = 1 + \sqrt 5 \Rightarrow y = 1 + \sqrt 5 + 2 = 3 + \sqrt 5 \)

Với\(x = 1 - \sqrt 5 \Rightarrow y = 1 - \sqrt 5 + 2 = 3 - \sqrt 5 \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1 + \sqrt 5 ;3 + \sqrt 5 } \right)\) hoặc\(\left( {x;y} \right) = \left( {1 - \sqrt 5 ;3 - \sqrt 5 } \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link