Xét số phức \(z\) thỏa \(\left| {z + 1 - 2i\left| = \right|\overline z + 3 + 4i} \right|\) và

Câu hỏi số 707442:

Vận dụng

Xét số phức \(z\) thỏa \(\left| {z + 1 - 2i\left| = \right|\overline z + 3 + 4i} \right|\) và \(\dfrac{{z - 2i}}{{\overline z + i}}\) là một số thuần ảo. Khi đó giá trị của \(\left| {2z + i\overline z } \right|\) bằng

A. \(\dfrac{{5\sqrt {73} }}{7}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {3365} }}{7}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {1157} }}{7}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt {5573} }}{7}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707442

Giải chi tiết

Đặt \(z = x + yi\).

\(\left| {z + 1 - 2i\left| = \right|\overline z + 3 + 4i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 2)}^2}} = \sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(4 - y)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow 2x + 1 - 4y + 4 = 6x + 9 - 8y + 16\)

\( \Leftrightarrow 4x - 4y + 20 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = y - 5\).

Ta có: \(\dfrac{{z - 2i}}{{\overline z + i}} = \dfrac{{\left( {z - 2i} \right).\left( {z - i} \right)}}{{\left( {\overline z + i} \right).\left( {z - i} \right)}} = \dfrac{{\left[ {x + \left( {y - 2} \right)i\left] . \right[x + \left( {y - 1} \right)i} \right]}}{{\left( {\overline z + i} \right).\left( {z - i} \right)}}\) là số thuần ảo

\( \Rightarrow {x^2} - \left( {y - 2} \right)\left( {y - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 3y - 2 = 0\).

Thay (1) vào \(\left( 2 \right)\), được:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(y - 5)^2} - {y^2} + 3y - 2 = 0\\ \Leftrightarrow - 7y + 23 = 0\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{23}}{7} \Rightarrow x = - \dfrac{{12}}{7}\end{array}\)

\( \Rightarrow z = - \dfrac{{12}}{7} + \dfrac{{23}}{7}i\)

Vậy \(\left| {2z + i\overline z } \right| = \left| {2.\left( { - \dfrac{{12}}{7} + \dfrac{{23}}{7}i} \right) + i.\left( { - \dfrac{{12}}{7} - \dfrac{{23}}{7}i} \right)} \right| = \left| { - \dfrac{1}{7} + \dfrac{{34}}{7}i} \right| = \dfrac{{\sqrt {1157} }}{7}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.