Hãy tính tổng các phân số sau đây theo cách nhanh nhấta) \(A = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} +

Câu hỏi số 714627:

Vận dụng

Hãy tính tổng các phân số sau đây theo cách nhanh nhất

a) $A = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \ldots + \dfrac{1}{{2022.2023}}$

b) $B = \dfrac{2}{{1.3}} + \dfrac{2}{{3.5}} + \dfrac{2}{{5.7}} + \ldots + \dfrac{2}{{97.99}}$

c) $C = \dfrac{3}{{28}} + \dfrac{3}{{70}} + \dfrac{3}{{130}} + \ldots + \dfrac{3}{{550}}$

d) $D = \dfrac{4}{{1.10}} + \dfrac{4}{{10.19}} + \dfrac{4}{{19.28}} + \ldots + \dfrac{4}{{82.91}}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:714627

Phương pháp giải

Phân tích để rút gọn.

Giải chi tiết

a) $A = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \ldots + \dfrac{1}{{2022.2023}} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2022}} - \dfrac{1}{{2023}} = 1 - \dfrac{1}{{2023}} = \dfrac{{2022}}{{2023}}$

$b)$ $B = \dfrac{2}{{1.3}} + \dfrac{2}{{3.5}} + \dfrac{2}{{5.7}} + \ldots + \dfrac{2}{{97.99}} = 1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \ldots + \dfrac{1}{{97}} - \dfrac{1}{{99}} = 1 - \dfrac{1}{{99}} = \dfrac{{98}}{{99}}$

c) $C = \dfrac{3}{{28}} + \dfrac{3}{{70}} + \dfrac{3}{{130}} + \ldots + \dfrac{3}{{550}}$

Nhận xét: Ta thấy tử của các phân số bằng 3 , trong khi phần mẫu chưa được phân tích về dạng tích.

Do đó ta sẽ biến đổi để các mẫu số về dạng tích của hai thừa số có hiệu bằng 3 .

Nhận thấy: $28 = 4.7;70 = 7.10;130 = 10.13; \ldots ;550 = 22.25$

Do vậy:

$C = \dfrac{3}{{28}} + \dfrac{3}{{70}} + \dfrac{3}{{130}} + \ldots + \dfrac{3}{{550}}$

$= \dfrac{3}{{4.7}} + \dfrac{3}{{7.10}} + \dfrac{3}{{10.13}} + \ldots + \dfrac{3}{{22.25}}$

$= \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{10}} - \dfrac{1}{{13}} + \ldots + \dfrac{1}{{22}} - \dfrac{1}{{25}}$

$= \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{25}} = \dfrac{{21}}{{100}}$

d) $D = \dfrac{4}{{1.10}} + \dfrac{4}{{10.19}} + \dfrac{4}{{19.28}} + \ldots + \dfrac{4}{{82.91}}$

Nhận xét: Ta thấy ở mỗi phân số, hiệu của hai thừa số dưới mẫu bằng 9 . Trong khi đó các tử lại có giá trị bằng 4 .

Do đó ta sẽ biến đổi để cho tử số bằng 9 (đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu) như sau:

$D{\rm{ }} = \dfrac{4}{{1.10}} + \dfrac{4}{{10.19}} + \dfrac{4}{{19.28}} + \ldots + \dfrac{4}{{82.91}}$

$= \dfrac{4}{9}\left[ {9\left( {\dfrac{1}{{1.10}} + \dfrac{1}{{10.19}} + \dfrac{1}{{19.28}} + \ldots + \dfrac{1}{{82.91}}} \right)} \right]{\rm{ }}$

$= \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{9}{{1.10}} + \dfrac{9}{{10.19}} + \dfrac{9}{{19.28}} + \ldots + \dfrac{9}{{82.91}}} \right){\rm{ }}$

$= \dfrac{4}{9}\left( {1 - \dfrac{1}{{10}} + \dfrac{1}{{10}} - \dfrac{1}{{19}} + \dfrac{1}{{19}} - \dfrac{1}{{28}} + \ldots + \dfrac{1}{{82}} - \dfrac{1}{{91}}} \right)$

$= \dfrac{4}{9}\left( {1 - \dfrac{1}{{91}}} \right) = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{{90}}{{91}} = \dfrac{{40}}{{91}}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K14 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.