Cho hàm số $f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,(a \ne 0)$. Hàm số ${f^\prime }(1 - x)$ có đồ thị

Câu hỏi số 715322:

Vận dụng cao

Cho hàm số $f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,(a \ne 0)$. Hàm số ${f^\prime }(1 - x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Tìm số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f\left( {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} \right) - {x^2}$

Xem lời giải

Câu hỏi:715322

Giải chi tiết

Ta có: $g(x)=f\left(\dfrac{x^2-1}{x^2}\right)-x^2=f\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)-x^2$.

$g'(x) = {\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime }f'\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2x = \dfrac{2}{{{x^3}}}f'\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2x.{\rm{ }}$

$g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{x^3} f^{\prime}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)=2 x \Leftrightarrow f^{\prime}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2}\left({ }^*\right)$.

Nhận xét: Số cực trị của hàm số $g(x)=f\left(\dfrac{x^2-1}{x^2}\right)-x^2$ là số giao điểm (không tính điểm tiếp xúc) của đồ thị hàm số $y=f^{\prime}\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)$ và đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^2}$. Vẽ đồ thị hàm số $h(x)=\dfrac{1}{x^2}$ trên cùng một hệ trục với đồ thị hàm số $y=f^{\prime}(1-x)$, ta được:

$(*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{{{x^2}}} = a \in (0;1)}\\{\dfrac{1}{{{x^2}}} = b \in (1;3)}\\{\dfrac{1}{{{x^2}}} = c \in (3; + \infty )}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = \dfrac{1}{a}}\\{{x^2} = \dfrac{1}{b}}\\{{x^2} = \dfrac{1}{c}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm \sqrt {\dfrac{1}{a}} }\\{x = \pm \sqrt {\dfrac{1}{b}} }\\{x = \pm \sqrt {\dfrac{1}{c}} }\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Vậy hàm số có 6 cực trị

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.