Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = {(x + 1)^2}\left( {{x^2} - 4x} \right)\). Có bao nhiêu giá

Câu hỏi số 715321:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = {(x + 1)^2}\left( {{x^2} - 4x} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f\left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

Xem lời giải

Câu hỏi:715321

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có \(g(x) = f\left( {2{x^2} - 12x + m} \right) \Rightarrow g'(x) = (4x - 12).f'\left( {2{x^2} - 12x + m} \right)\).

Suy ra \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow (4x - 12)f'\left( {2{x^2} - 12x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{f'\left( {2{x^2} - 12x + m} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{2{x^2} - 12x + m = 0}\\{2{x^2} - 12x + m = 4}\\{2{x^2} - 12x + m = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{2{x^2} - 12x + m = 0(1)}\\{2{x^2} - 12x + m - 4 = 0(2)}\\{2{x^2} - 12x + m + 1 = 0(3)}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì phương trình (3) có nghiệm kép nên ta chỉ xét 2 phương trình (1) và (2).

Nhận xét: phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung.

Yêu cầu bài toán suy ra phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 3.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta _{(1)}^\prime > 0}\\{{{2.3}^2} - 12.3 + m \ne 0}\\{\Delta _{(2)}^\prime > 0}\\{{{2.3}^2} - 12.3 + m - 4 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{36 - 2m > 0}\\{m \ne 18}\\{36 - 2(m - 4) > 0}\\{m \ne 22}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 18}\\{m \ne 18}\\{m < 22}\\{m \ne 22}\end{array} \Leftrightarrow m < 18} \right.} \right.} \right.\)

Vì \(m\) nguyên dương nên \(m \in \{ 1;2;3; \ldots ;17\} \). Vậy có 17 giá trị thoả mãn.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.