Trong một báo cáo, xét nghiệm Mammography người mắc bệnh ung thư vú cho kết quả dương tính với

Câu hỏi số 718545:

Vận dụng cao

Trong một báo cáo, xét nghiệm Mammography người mắc bệnh ung thư vú cho kết quả dương tính với xác suất là \(90\% \), người không mắc bệnh ung thư vú cho kết quả âm tính với xác suất \(97\% \). Nghiên cứu dịch tễ học chỉ ra tỉ lệ mắc ung thư vú của phụ nữ trong độ tuổi 55 là \(1\% \). Một phụ nữ 55 tuổi, không có tiền sử ung thư vú thực hiện xét nghiệm Mammography hai lần độc lập nhau đều nhận được kết quả là dương tính. Xác suất người phụ nữ đó mắc bệnh ung thư vú gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. \(90\% .\)

B. \(91\% .\)

C. \(98\% .\)

D. \(99\% .\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:718545

Giải chi tiết

Xét hai biến cố: \(A\): ”Người phụ nữ mắc bệnh ung thư vú”.

\(B\): ”Kết quả xét nghiệm của người phụ nữ là dương tính”.

Do người phụ nữ đó 55 tuổi nên \(P\left( A \right) = 1\% = 0,01 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,99.\)

Khi đó: \(P\left( {A|B} \right)\) là xác suất người phụ nữ bị mắc bệnh ung thư vú khi có kết quả xét nghiệm dương tính.

\(P\left( {B|A} \right)\) là xác suất người phụ nữ có kết quả xét nghiệm là dương tính với điều kiện có mắc bệnh \( \Rightarrow P\left( {B|A} \right) = 90\% = 0,9.\)

\(P\left( {B|\overline A } \right)\) là xác suất người phụ nữ có kết quả xét nghiệm là dương tính với điều kiện không mắc bệnh \( \Rightarrow P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 97\% = 0,03.\)

Áp dụng công thức Bayes, ta có xác suất người phụ nữ bị mắc bệnh ung thư vú khi có kết quả xét nghiệm dương tính lần thứ nhất là:

\(P\left( {A|B} \right) = \dfrac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \dfrac{{0,01.0,9}}{{0,01.0,9 + 0,99.0,03}} = \dfrac{{10}}{{43}}.\)

Vì người phụ nữ xét nghiệm 2 lần đều ra kết quả dương tính nên ở lần thứ hai, ta xét \(P\left( A \right) = \dfrac{{10}}{{43}}.\)

Do đó, xác suất người phụ nữ bị mắc bệnh ung thư vú khi có kết quả xét nghiệm dương tính lần thứ hai là:

\(P\left( {A|B} \right) = \dfrac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \dfrac{{\dfrac{{10}}{{43}}.0,9}}{{\dfrac{{10}}{{43}}.0,9 + \left( {1 - \dfrac{{10}}{{43}}} \right).0,03}} = \dfrac{{100}}{{111}} \approx 90\% .\)

Vậy xác suất người phụ nữ bị mắc bệnh ung thư vú gần với 90%.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.