Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau tại cùng một thời điểm. Một con bay trên

Câu hỏi số 720363:

Vận dụng

Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau tại cùng một thời điểm. Một con bay trên quỹ đạo đường thẳng từ điểm \(A(0;0)\) đến điểm \(B(0;100)\) với vận tốc \(5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\). Con còn lại bay trên quỹ đạo đường thẳng từ \(C(60;80)\) về \(A\) với vận tốc \(10\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\). Hỏi trong quá trình bay, thì khoảng cách ngắn nhất mà hai con đạt được là bao nhiêu?

A. \(20(\;{\rm{m}})\)

B. \(50(\;{\rm{m}})\)

C. \(20\sqrt {10} (\;{\rm{m}})\)

D. \(20\sqrt 5 (\;{\rm{m}})\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:720363

Giải chi tiết

Xét ở thời điểm t

Tọa độ của con chuồn chuồn bay từ B về A là \((0;100 - 5t)\).

Do con chuồn chuồn bay từ \(C\) về \(A\) trên đường thẳng A C có hệ số góc \(k = \tan \alpha = \dfrac{4}{3}\) nên tọa độ của con chuồn chuồn này là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 60 - 10t \cdot \cos \alpha = 60 - 10t \cdot \dfrac{3}{5} = 60 - 6t}\\{y = 80 - 10\sin \alpha = 80 - 8t}\end{array}} \right.\)

Như vậy ở thời điểm \(t\) khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn sẽ là: \(d = \sqrt {{{(60 - 6t)}^2} + {{(20 + 3t)}^2}} \)

Khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn nhỏ nhất khi và chỉ khi \({(60 - 6t)^2} + {(20 + 3t)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất với \(t \in [0;10]\)

Xét \(f(t) = {(60 - 6t)^2} + {(20 + 3t)^2}\) trên [0 ; 10]

Ta có: \({f^\prime }(t) = 90t - 600 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{20}}{3}\)

\( \Rightarrow \min f(t) = f\left( {\dfrac{{20}}{3}} \right) = 2000\)

\( \Rightarrow \) khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con chuồn chuồn trong quá trình bay là \(\sqrt {2000} = 20\sqrt 5 (\;{\rm{m}})\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.