Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau tại cùng một thời điểm. Một con bay trên

Câu hỏi số 720363:

Vận dụng

Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau tại cùng một thời điểm. Một con bay trên quỹ đạo đường thẳng từ điểm $A(0;0)$ đến điểm $B(0;100)$ với vận tốc $5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ . Con còn lại bay trên quỹ đạo đường thẳng từ $C(60;80)$ về $A$ với vận tốc $10\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ . Hỏi trong quá trình bay, thì khoảng cách ngắn nhất mà hai con đạt được là bao nhiêu?

$20(\;{\rm{m}})$

$50(\;{\rm{m}})$

$20\sqrt {10} (\;{\rm{m}})$

$20\sqrt 5 (\;{\rm{m}})$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720363

Giải chi tiết

Xét ở thời điểm t

Tọa độ của con chuồn chuồn bay từ B về A là $(0;100 - 5t)$ .

Do con chuồn chuồn bay từ $C$ về $A$ trên đường thẳng A C có hệ số góc $k = \tan \alpha = \dfrac{4}{3}$ nên tọa độ của con chuồn chuồn này là:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 60 - 10t \cdot \cos \alpha = 60 - 10t \cdot \dfrac{3}{5} = 60 - 6t}\\{y = 80 - 10\sin \alpha = 80 - 8t}\end{array}} \right.$

Như vậy ở thời điểm $t$ khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn sẽ là: $d = \sqrt {{{(60 - 6t)}^2} + {{(20 + 3t)}^2}}$

Khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn nhỏ nhất khi và chỉ khi ${(60 - 6t)^2} + {(20 + 3t)^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất với $t \in [0;10]$

Xét $f(t) = {(60 - 6t)^2} + {(20 + 3t)^2}$ trên [0 ; 10]

Ta có: ${f^\prime }(t) = 90t - 600 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{20}}{3}$

$\Rightarrow \min f(t) = f\left( {\dfrac{{20}}{3}} \right) = 2000$

$\Rightarrow$ khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con chuồn chuồn trong quá trình bay là $\sqrt {2000} = 20\sqrt 5 (\;{\rm{m}})$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.