Cho hai số dương \(x,y\) thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x\sqrt x

Câu hỏi số 721762:

Vận dụng cao

Cho hai số dương \(x,y\) thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x\sqrt x }}{{\sqrt {{x^3} + {{(x + y)}^3}} }} + \dfrac{{{y^2}}}{{2x\left( {x + 2y} \right)}}{\rm{.\;}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721762

Phương pháp giải

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x\sqrt x }}{{\sqrt {{x^3} + {{(x + y)}^3}} }} + \dfrac{{{y^2}}}{{2x(x + 2y)}}\\{x^3} + {(x + y)^3} = (2x + y)\left( {{x^2} - x(x + y) + {{(x + y)}^2}} \right) = (2x + y)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\\ \Rightarrow \sqrt {x\left[ {{x^3} + {{(x + y)}^3}} \right]} = \sqrt {x(2x + y)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)} \\ \le \dfrac{{x(2x + y) + \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{2} = \dfrac{{2{x^2} + {{(x + y)}^2}}}{2}\\ \le \dfrac{{2{x^2} + 2{x^2} + 2{y^2}}}{2} = 2{x^2} + {y^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{x\sqrt x }}{{\sqrt {{x^3} + {{(x + y)}^3}} }} = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {x\left[ {{x^3} + {{(x + y)}^3}} \right]} }} \ge \dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + {y^2}}}\\ \Rightarrow P = \dfrac{{x\sqrt x }}{{\sqrt {{x^3} + {{(x + y)}^3}} }} + \dfrac{{{y^2}}}{{2x(x + 2y)}}\\ \ge \dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{2{x^2} + 4xy}}\\ \ge \dfrac{{{x^2}}}{{2{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{2{x^2} + 2{x^2} + 2{y^2}}} = \dfrac{{2{x^2} + {y^2}}}{{2\left( {2{x^2} + {y^2}} \right)}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.