Cho đường tròn (O) và hai điểm phân biệt B, C nằm trên đường tròn (O) ( BC không là đường

Câu hỏi số 721761:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) và hai điểm phân biệt B, C nằm trên đường tròn (O) ( BC không là đường kính của đường tròn (O)). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D.

a) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Đường thẳng DO cắt BC tại E, cắt đường tròn (O) tại A sao cho O nằm giữa A và E. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng CH, M là giao điểm của đường thẳng AF với đường tròn (O) ( M khác A). Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng BC và EM vuông góc với MC.

c) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng CM và AD. Chứng minh $\dfrac{{CM \cdot DE}}{{OE \cdot MN}} = 4$ .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721761

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Do DB,DC là tiếp tuyến nên $\angle OBD = \angle OCD = {90^0}$

Xét tứ giác OBDC có $\angle OBD + \angle OCD = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OBDC nội tiếp

b) Ta có $DB = DC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$OB = OC = R$

$\Rightarrow OD$ là trung trực của BC tại trung điểm E của BC

Do E, F lần lượt là trung điểm của BC và CH nên EF là đường trung bình của tam giác CBH

$\Rightarrow EF\parallel BH.$ Mà $AB \bot CH \Rightarrow EF \bot CH$

Ta có $EF\parallel AB \Rightarrow \angle EFM = \angle BAM$ (đồng vị)

Mà $\angle BAM = \angle BCM$ (cùng chắn cung BM) $\Rightarrow \angle EFM = \angle BCM = \angle ECM$

$\Rightarrow E,F,C,M$ cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow \angle EFC + \angle EMC = {180^0} \Rightarrow \angle EMC = {180^0} - \angle EFC = {90^0}$

Vậy EM vuông góc với MC

c) Ta có $\angle NEM = \angle NCE$ (cùng phụ với $\angle ENM$ )

Mà $\angle NCE = \angle MBD = \dfrac{1}{2}sdcungMB \Rightarrow \angle MBD = \angle NEM$

$\Rightarrow BEMD$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle MDE = \angle MBE$ (cùng chắn ME)

$\angle MBE = \angle MCD\left( { = \dfrac{1}{2}sdcungCM} \right) \Rightarrow \angle MDE = \angle MCD$

$\Rightarrow \Delta NMD$ ~ $\Delta NDC \Rightarrow D{N^2} = NM.NC$

Mà $E{N^2} = NM.NC \Rightarrow EN = ND$

Xét $\Delta ECN$ vuông tại E, đường cao EM có $\left\{ \begin{array}{l}E{C^2} = CM.CN\\E{N^2} = MN.CN\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{MN}} = \dfrac{{E{C^2}}}{{E{N^2}}} = \dfrac{{E{C^2}}}{{{{\left( {\dfrac{{DE}}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{4E{C^2}}}{{D{E^2}}}$

Tương tự ta có $\left\{ \begin{array}{l}O{C^2} = OE.OD\\C{D^2} = DE.OD\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{DE}} = \dfrac{{O{C^2}}}{{C{D^2}}} = \dfrac{{E{C^2}}}{{D{E^2}}}(do\,\,\,\Delta DEC$ ~ $\Delta DCO$ )

$\Rightarrow \dfrac{{CM}}{{MN}} = \dfrac{{4OE}}{{DE}} \Leftrightarrow \dfrac{{CM.DE}}{{MN.OE}} = 4$ (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.