Cho đường tròn (O) và hai điểm phân biệt B, C nằm trên đường tròn (O) ( BC không là đường
Cho đường tròn (O) và hai điểm phân biệt B, C nằm trên đường tròn (O) ( BC không là đường kính của đường tròn (O)). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D.
a) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Đường thẳng DO cắt BC tại E, cắt đường tròn (O) tại A sao cho O nằm giữa A và E. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng CH, M là giao điểm của đường thẳng AF với đường tròn (O) ( M khác A). Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng BC và EM vuông góc với MC.
c) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng CM và AD. Chứng minh \(\dfrac{{CM \cdot DE}}{{OE \cdot MN}} = 4\).
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do DB,DC là tiếp tuyến nên \(\angle OBD = \angle OCD = {90^0}\)
Xét tứ giác OBDC có \(\angle OBD + \angle OCD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OBDC nội tiếp
b) Ta có \(DB = DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow OD\) là trung trực của BC tại trung điểm E của BC
Do E, F lần lượt là trung điểm của BC và CH nên EF là đường trung bình của tam giác CBH
\( \Rightarrow EF\parallel BH.\) Mà \(AB \bot CH \Rightarrow EF \bot CH\)
Ta có \(EF\parallel AB \Rightarrow \angle EFM = \angle BAM\) (đồng vị)
Mà \(\angle BAM = \angle BCM\) (cùng chắn cung BM) \( \Rightarrow \angle EFM = \angle BCM = \angle ECM\)
\( \Rightarrow E,F,C,M\) cùng thuộc một đường tròn
\( \Rightarrow \angle EFC + \angle EMC = {180^0} \Rightarrow \angle EMC = {180^0} - \angle EFC = {90^0}\)
Vậy EM vuông góc với MC
c) Ta có \(\angle NEM = \angle NCE\) (cùng phụ với \(\angle ENM\))
Mà \(\angle NCE = \angle MBD = \dfrac{1}{2}sdcungMB \Rightarrow \angle MBD = \angle NEM\)
\( \Rightarrow BEMD\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle MDE = \angle MBE\) (cùng chắn ME)
\(\angle MBE = \angle MCD\left( { = \dfrac{1}{2}sdcungCM} \right) \Rightarrow \angle MDE = \angle MCD\)
\( \Rightarrow \Delta NMD\)~\(\Delta NDC \Rightarrow D{N^2} = NM.NC\)
Mà \(E{N^2} = NM.NC \Rightarrow EN = ND\)
Xét \(\Delta ECN\) vuông tại E, đường cao EM có \(\left\{ \begin{array}{l}E{C^2} = CM.CN\\E{N^2} = MN.CN\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{MN}} = \dfrac{{E{C^2}}}{{E{N^2}}} = \dfrac{{E{C^2}}}{{{{\left( {\dfrac{{DE}}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{4E{C^2}}}{{D{E^2}}}\)
Tương tự ta có \(\left\{ \begin{array}{l}O{C^2} = OE.OD\\C{D^2} = DE.OD\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{DE}} = \dfrac{{O{C^2}}}{{C{D^2}}} = \dfrac{{E{C^2}}}{{D{E^2}}}(do\,\,\,\Delta DEC\)~\(\Delta DCO\))
\( \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{MN}} = \dfrac{{4OE}}{{DE}} \Leftrightarrow \dfrac{{CM.DE}}{{MN.OE}} = 4\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
