Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng $R$. Cắt

Câu hỏi số 721808:

Vận dụng cao

Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng $R$. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc $30^\circ$ ta thu được hai khối gỗ có thể tích là $V_1$ và $V_2$, với $V_1 < V_2$. Thể tích $V_1$ bằng?

A. $V_1 = \dfrac{2\sqrt{3}R^3}{9}$.

B. $V_1 = \dfrac{\sqrt{5}\pi R^3}{27}$.

C. $V_1 = \dfrac{\sqrt{3}\pi R^3}{18}$.

D. $V_1 = \dfrac{\sqrt{3}R^3}{27}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721808

Giải chi tiết

Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích $V_1$, như hình vẽ.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Nửa đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, $x \in [-R, R]$.

Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $M$ có hoành độ $x$, cắt hình nêm theo thiết diện là $\Delta MNP$ vuông tại $N$ và có $\widehat{PMN} = 30^\circ$.

Ta có $NM = y = \sqrt{R^2 - x^2} \Rightarrow NP = MN.\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{R^2 - x^2}}{\sqrt{3}}$.

$\Delta MNP$ có diện tích $S(x) = \dfrac{1}{2}.NM.NP = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}R^2 - x^2$.

Thể tích hình nêm là $V_1 = \int\limits_{-R}^R {S(x)dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \int\limits_{-R}^R {(R^2 - x^2)dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}(\dfrac{R^3x}{3} - \dfrac{x^3}{3})\bigg|_{-R}^R = \dfrac{2\sqrt{3}R^3}{9}$.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.