Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng $R$ . Cắt

Câu hỏi số 721808:

Vận dụng cao

Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng $R$ . Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc $30^\circ$ ta thu được hai khối gỗ có thể tích là $V_1$ và $V_2$ , với $V_1 < V_2$ . Thể tích $V_1$ bằng?

V_{1} = \frac{2 \sqrt{3} R^{3}}{9}

$V_1 = \dfrac{2\sqrt{3}R^3}{9}$ .

V_{1} = \frac{\sqrt{5} π R^{3}}{27}

$V_1 = \dfrac{\sqrt{5}\pi R^3}{27}$ .

V_{1} = \frac{\sqrt{3} π R^{3}}{18}

$V_1 = \dfrac{\sqrt{3}\pi R^3}{18}$ .

V_{1} = \frac{\sqrt{3} R^{3}}{27}

$V_1 = \dfrac{\sqrt{3}R^3}{27}$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721808

Giải chi tiết

Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích $V_1$ , như hình vẽ.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Nửa đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ , $x \in [-R, R]$ .

Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $M$ có hoành độ $x$ , cắt hình nêm theo thiết diện là $\Delta MNP$ vuông tại $N$ và có $\widehat{PMN} = 30^\circ$ .

Ta có $NM = y = \sqrt{R^2 - x^2} \Rightarrow NP = MN.\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{R^2 - x^2}}{\sqrt{3}}$ .

$\Delta MNP$ có diện tích $S(x) = \dfrac{1}{2}.NM.NP = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}R^2 - x^2$ .

Thể tích hình nêm là $V_1 = \int\limits_{-R}^R {S(x)dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \int\limits_{-R}^R {(R^2 - x^2)dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}(\dfrac{R^3x}{3} - \dfrac{x^3}{3})\bigg|_{-R}^R = \dfrac{2\sqrt{3}R^3}{9}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.