Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng $R$. Cắt
Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng $R$. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc $30^\circ$ ta thu được hai khối gỗ có thể tích là $V_1$ và $V_2$, với $V_1 < V_2$. Thể tích $V_1$ bằng?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích $V_1$, như hình vẽ.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.
Nửa đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, $x \in [-R, R]$.
Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $M$ có hoành độ $x$, cắt hình nêm theo thiết diện là $\Delta MNP$ vuông tại $N$ và có $\widehat{PMN} = 30^\circ$.
Ta có $NM = y = \sqrt{R^2 - x^2} \Rightarrow NP = MN.\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{R^2 - x^2}}{\sqrt{3}}$.
$\Delta MNP$ có diện tích $S(x) = \dfrac{1}{2}.NM.NP = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}R^2 - x^2$.
Thể tích hình nêm là $V_1 = \int\limits_{-R}^R {S(x)dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \int\limits_{-R}^R {(R^2 - x^2)dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}(\dfrac{R^3x}{3} - \dfrac{x^3}{3})\bigg|_{-R}^R = \dfrac{2\sqrt{3}R^3}{9}$.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
