Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối \(9\) được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ

Câu hỏi số 721849:

Vận dụng

Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối \(9\) được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \(ABCD\) cùng loại, có chiều dài \(10m\) và chiều rộng \(6m;\) với \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\) (hình 1)

Mỗi lớp sử dụng tấm bạt nhựa trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân \(AMD\) và tam giác \(BMC\), với độ dài cạnh đáy của tam giác cân này là \(x\left( m \right)\). (Tấm bạt chỉ sử dụng để dụng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều). Tìm \(x\) để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721849

Giải chi tiết

Thể tích không gian trong lều là: \(V = {S_{AMD}}.AB = 10{S_{AMD}}.\)

Để thể tích không gian trong lều là lớn nhất thì \({S_{AMD}}\) lớn nhất.

Kẻ \(MH \bot AD\,\left( {H \in AD} \right)\)

Ta có: \(AM = MD = \dfrac{6}{2} = 3m.\)

Do \(\Delta AMD\) cân tại \(M\) có \(MH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \(H\) là trung điểm của \(AD\). Do đó \(AH = \dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{x}{2}.\)

Áp dụng định lý Phythagore cho tam giác \(MAH\) vuông tại \(H\), ta có:

\(M{H^2} = A{M^2} - A{H^2} = {3^2} - {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} = \dfrac{{36 - {x^2}}}{4}\)

Suy ra: \(MH = \dfrac{{\sqrt {36 - {x^2}} }}{2}.\) Điều kiện \(0 < x < 6\)

Ta có: \({S_{AMD}} = \dfrac{1}{2}AD.MH = \dfrac{1}{4}x\sqrt {36 - {x^2}} \)

Để \({S_{AMD}}\) lớn nhất thì \({({S_{AMD}})^2}\) lớn nhất.

\({({S_{AMD}})^2} = \dfrac{1}{{16}}{x^2}(36 - {x^2}) \le \dfrac{1}{{16}}{\left( {\dfrac{{{x^2} + 36 - {x^2}}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{81}}{4}\) (BĐT cô-si)

Dấu bằng xảy ra khi \({x^2} = 36 - {x^2}\) hay \({x^2} = 18\) hay \(x = 3\sqrt 2 \) (Do \(x > 0\))

Vậy với \(x = 3\sqrt 2 \) thì thể tích không gian trong lều đạt giá trị lớn nhất.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.