Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z = 3\).Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} +

Câu hỏi số 721992:

Vận dụng cao

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z = 3\).

Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + y}} + \dfrac{{{y^3}}}{{{y^2} + z}} + \dfrac{{{z^3}}}{{{z^2} + x}} \ge \dfrac{3}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721992

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Theo BĐT Cô si ta có:

\(\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + y}} = x - \dfrac{{xy}}{{{x^2} + y}} \ge x - \dfrac{{xy}}{{2x\sqrt y }} = x - \dfrac{1}{2}\sqrt y \ge x - \dfrac{1}{4}(y + 1)\)

Tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{y^3}}}{{{y^2} + z}} \ge y - \dfrac{1}{4}(z + 1)\\\dfrac{{{z^3}}}{{{z^2} + x}} \ge z - \dfrac{1}{4}(x + 1)\end{array}\)

Từ đó ta có:

\(\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + y}} + \dfrac{{{y^3}}}{{{y^2} + z}} + \dfrac{{{z^3}}}{{{z^2} + x}} \ge x + y + y - \dfrac{1}{4}(x + y + z + 3) = 3 - \dfrac{1}{4}\left( {3 + 3} \right) = \dfrac{3}{2}\)

Dấu “=” có khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = y}\\{{y^2} = z}\\{{z^2} = x}\\{x = y = z = 1}\end{array} \Leftrightarrow x = y = z = 1.} \right.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.