Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với

Câu hỏi số 721991:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

b) Qua A kẻ đường thẳng d không đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N ( M nằm giữa A và N; B và O nằm khác phía đối với đường thẳng d).Chứng minh $A{B^2} = AM \cdot AN$ .

c) Gọi I là trung điểm của MN. Hai tia BO và CI cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Chứng minh $\angle CED = \angle BAO$ .

d) Chứng minh OI vuông góc với BE.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721991

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Do AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn nên $\angle ACO = \angle ABO = {90^0}$

Xét tứ giác ABOC có $\angle ACO + \angle ABO = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ANB$ có $\angle BAN$ chung

$\angle ABM = \angle ANB$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM)

$\Rightarrow \Delta ABM$ ~ $\Delta ANB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AM.AN$

c) Do tứ giác ABOC nội tiếp nên $\angle OAB = \angle OCB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OB)

Mà $\Delta OBC$ cân tại O $\left( {OB = OC = R} \right) \Rightarrow \angle OCB = \angle OBC$

Lại có $\angle OBC = \angle CED$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DC)

$\Rightarrow \angle CED = \angle OBC = \angle OCB = \angle OAB$ hay $\angle CED = \angle BAO$

d) Do I là trung điểm của MN nên $OI \bot MN$ (tính chất đường kính dây cung)

$\Rightarrow \angle OIA = \angle OBA = {90^0}$

Mà 2 góc này kề nhau, cùng nhìn OA dưới góc ${90^0}$ nên O, I, B, A cùng thuộc đường tròn

Kết hợp với tứ giác ABOC nội tiếp suy ra O, I, B, A, C cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow \angle OIC = \angle OBC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OC)

Ta có $\angle OBC = \angle DBC = \angle DEC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle OIC = \angle DEC$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên suy ra $OI\parallel DE$

Do $BD$ là đường kính nên $\angle DEB = {90^0} \Rightarrow DE \bot BE$

$\Rightarrow OI \bot EB$ (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.