Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
b) Qua A kẻ đường thẳng d không đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N ( M nằm giữa A và N; B và O nằm khác phía đối với đường thẳng d).Chứng minh \(A{B^2} = AM \cdot AN\).
c) Gọi I là trung điểm của MN. Hai tia BO và CI cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Chứng minh \(\angle CED = \angle BAO\).
d) Chứng minh OI vuông góc với BE.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn nên \(\angle ACO = \angle ABO = {90^0}\)
Xét tứ giác ABOC có \(\angle ACO + \angle ABO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ANB\) có \(\angle BAN\) chung
\(\angle ABM = \angle ANB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM)
\( \Rightarrow \Delta ABM\)~ \(\Delta ANB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AM.AN\)
c) Do tứ giác ABOC nội tiếp nên \(\angle OAB = \angle OCB\) (góc nội tiếp cùng chắn cung OB)
Mà \(\Delta OBC\) cân tại O \(\left( {OB = OC = R} \right) \Rightarrow \angle OCB = \angle OBC\)
Lại có \(\angle OBC = \angle CED\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
\( \Rightarrow \angle CED = \angle OBC = \angle OCB = \angle OAB\) hay \(\angle CED = \angle BAO\)
d) Do I là trung điểm của MN nên \(OI \bot MN\) (tính chất đường kính dây cung)
\( \Rightarrow \angle OIA = \angle OBA = {90^0}\)
Mà 2 góc này kề nhau, cùng nhìn OA dưới góc \({90^0}\) nên O, I, B, A cùng thuộc đường tròn
Kết hợp với tứ giác ABOC nội tiếp suy ra O, I, B, A, C cùng thuộc một đường tròn
\( \Rightarrow \angle OIC = \angle OBC\)(góc nội tiếp cùng chắn cung OC)
Ta có \(\angle OBC = \angle DBC = \angle DEC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle OIC = \angle DEC\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên suy ra \(OI\parallel DE\)
Do \(BD\) là đường kính nên \(\angle DEB = {90^0} \Rightarrow DE \bot BE\)
\( \Rightarrow OI \bot EB\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
