Cho ba số thực \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) thỏa mãn \(1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2\). Tìm giá
Cho ba số thực \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) thỏa mãn \(1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{\rm{.\;}}\)
Áp dụng bất đẳng thức cosi.
Ta có \(P = \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)}}\)
\(\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}P - 1 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)}}\)
Ta chứng minh: \(P - 1 \ge \dfrac{1}{7}\)
\(\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)}} \ge \dfrac{1}{7}\)
\(\; \Leftrightarrow {\rm{\;7(}}{b^2} + {c^2}) \ge {a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\)
Có \(1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2\)
\( \Rightarrow b,c \ge 1 \ge \dfrac{a}{2}\) (vì \(a \le 2\))
\( \Rightarrow 2{b^2} \ge 2.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
\(2{c^2} \ge 2.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương \({b^2},{c^2}\): \({b^2} + {c^2} \ge 2bc\)
Có \(4{b^2} \ge 4b.\dfrac{a}{2} = 2ab\); \(4{c^2} \ge 4c.\dfrac{a}{2} = 2ac\)
Cộng vế với vế ta được:
\(2{b^2} + 2{c^2} + {b^2} + {c^2} + 4{b^2} + 4{c^2} \ge \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} + 2ab + 2ac + 2bc\)
\(\; \Leftrightarrow {\rm{\;7(}}{b^2} + {c^2}) \ge {a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\) (đpcm)
\( \Rightarrow P - 1 \ge \dfrac{1}{7} \Rightarrow P \ge \dfrac{8}{7}\)
Dấu “=” xảy ra khi: b = c = 1; a = 2
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com