Cho ba số thực \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) thỏa mãn \(1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2\). Tìm giá

Câu hỏi số 722260:

Vận dụng cao

Cho ba số thực \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) thỏa mãn \(1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{\rm{.\;}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722260

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức cosi.

Giải chi tiết

Ta có \(P = \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)}}\)

\(\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}P - 1 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)}}\)

Ta chứng minh: \(P - 1 \ge \dfrac{1}{7}\)

\(\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)}} \ge \dfrac{1}{7}\)

\(\; \Leftrightarrow {\rm{\;7(}}{b^2} + {c^2}) \ge {a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\)

Có \(1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2\)

\( \Rightarrow b,c \ge 1 \ge \dfrac{a}{2}\) (vì \(a \le 2\))

\( \Rightarrow 2{b^2} \ge 2.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)

\(2{c^2} \ge 2.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương \({b^2},{c^2}\): \({b^2} + {c^2} \ge 2bc\)

Có \(4{b^2} \ge 4b.\dfrac{a}{2} = 2ab\); \(4{c^2} \ge 4c.\dfrac{a}{2} = 2ac\)

Cộng vế với vế ta được:

\(2{b^2} + 2{c^2} + {b^2} + {c^2} + 4{b^2} + 4{c^2} \ge \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} + 2ab + 2ac + 2bc\)

\(\; \Leftrightarrow {\rm{\;7(}}{b^2} + {c^2}) \ge {a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\) (đpcm)

\( \Rightarrow P - 1 \ge \dfrac{1}{7} \Rightarrow P \ge \dfrac{8}{7}\)

Dấu “=” xảy ra khi: b = c = 1; a = 2

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.