Cho ba số thực ${\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}$ thỏa mãn $1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2$ . Tìm giá

Câu hỏi số 722260:

Vận dụng cao

Cho ba số thực ${\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}$ thỏa mãn $1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{\rm{.\;}}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722260

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức cosi.

Giải chi tiết

Ta có $P = \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)}}$

$\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}P - 1 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)}}$

Ta chứng minh: $P - 1 \ge \dfrac{1}{7}$

$\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)}} \ge \dfrac{1}{7}$

$\; \Leftrightarrow {\rm{\;7(}}{b^2} + {c^2}) \ge {a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)$

Có $1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2$

$\Rightarrow b,c \ge 1 \ge \dfrac{a}{2}$ (vì $a \le 2$ )

$\Rightarrow 2{b^2} \ge 2.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$

$2{c^2} \ge 2.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương ${b^2},{c^2}$ : ${b^2} + {c^2} \ge 2bc$

Có $4{b^2} \ge 4b.\dfrac{a}{2} = 2ab$ ; $4{c^2} \ge 4c.\dfrac{a}{2} = 2ac$

Cộng vế với vế ta được:

$2{b^2} + 2{c^2} + {b^2} + {c^2} + 4{b^2} + 4{c^2} \ge \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} + 2ab + 2ac + 2bc$

$\; \Leftrightarrow {\rm{\;7(}}{b^2} + {c^2}) \ge {a^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)$ (đpcm)

$\Rightarrow P - 1 \ge \dfrac{1}{7} \Rightarrow P \ge \dfrac{8}{7}$

Dấu “=” xảy ra khi: b = c = 1; a = 2

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Tel:
024.7300.7989
Hotline:
1800.6947

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5 - 2K14

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho ba số thực ${\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}$ thỏa mãn $1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2$ . Tìm giá

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5 - 2K14

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho ba số thực a,b,ca,b,c{\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} thỏa mãn 1≤a,b,c≤21≤a,b,c≤21 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2. Tìm giá

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Cho ba số thực ${\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}$ thỏa mãn $1 \le {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \le 2$ . Tìm giá