Cho đường tròn tâm \({\rm{O}}\), đường kính \({\rm{AB}}\). Trên đường tròn \(({\rm{O}})\) lấy
Cho đường tròn tâm \({\rm{O}}\), đường kính \({\rm{AB}}\). Trên đường tròn \(({\rm{O}})\) lấy điềm \({\rm{C}}\) khác \({\rm{B}}\) sao cho \({\rm{AC}} > {\rm{BC}}\). Hai tiếp tuyến của đường tròn \(({\rm{O}})\) tại \({\rm{A}}\) và \({\rm{C}}\) cắt nhau ở \({\rm{E}}\).
a) Chứng minh \({\rm{AOCE}}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \({\rm{H}}\) là giao điểm của \({\rm{AC}}\) và \({\rm{OE}}\). Đường thẳng đi qua \({\rm{O}}\) vuông góc với \({\rm{AB}}\) cắt \({\rm{CE}}\) và \({\rm{BC}}\) lần lượt tại \({\rm{M}}\) và \({\rm{N}},{\rm{EN}}\) cắt \({\rm{OC}}\) tại \({\rm{K}},{\rm{OE}}\) cắt \({\rm{AN}}\) tai \({\rm{I}}\). Đường thẳng \({\rm{BE}}\) cắt đường tròn \(({\rm{O}})\) tại \({\rm{F}}\) (\({\rm{F}}\) khác \({\rm{B}}\)). Chứng minh tam giác \({\rm{EHB}}\) đồng dạng với tam giác \({\rm{EFO}}\) và MI.MK = MN.MO.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do EA, EC là tiếp tuyến nên \(\angle ECO = \angle EAO = {90^0}\)
Xét tứ giác AOCE có \(\angle ECO + \angle EAO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AOCE nội tiếp (dhnb)
b) Ta có \(EC = EA\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OC = OA = R\)
\( \Rightarrow OE\) là trung trực của AC
\( \Rightarrow OE \bot AC\) tại H là trung điểm của AB
\( \Rightarrow \Delta EAO\) vuông tại A, đường cao AH có \(E{A^2} = EH.EO\)
\(\angle AFB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AF \bot EB\)
\( \Rightarrow \Delta EAB\) vuông tại A, đường cao AF có \(E{A^2} = EF.EB\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow EF.EB = EH.EO\\ \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{EH}} = \dfrac{{EO}}{{EB}}\end{array}\)
Mà \(\angle OEB\) chung nên \(\Delta EFO\)~\(\Delta EHB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle EOF = \angle EBH\)
\( \Rightarrow OHFB\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle HOF = \angle HBF\)
Mà \(\angle OEB\) chung nên \(\Delta EHB\)~\(\Delta EFO\left( {g.g} \right)\) đpcm
Ta có \(\angle CBO = \angle EOA = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AC \Rightarrow BC\parallel EO\)
Mà \(ON\parallel EA\left( { \bot AB} \right) \Rightarrow \angle BNO = \angle OEA\)
Mà \(\angle OEA = \angle OEC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \angle CNO = \angle CEO \Rightarrow CNEO\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle OCE = \angle ONE = {90^0} \Rightarrow ON \bot EK\)
\( \Rightarrow \Delta KEO\) có ON, EC là đường cao cắt nhau tại M nên M là trực tâm
\( \Rightarrow MK \bot EO\) (1)
Ta có \(\angle MNK = \angle MCK = {90^0} \Rightarrow NMCK\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle CMK = \angle CNK\) (cùng chắn CK)
\(\angle CNK = \angle CBA\) (so le trong)
\(\angle CBA = \angle COI\left( { = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AC} \right)\)
\( \Rightarrow \angle KMC = \angle COI \Rightarrow MCOI\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle OIM = {180^0} - \angle MCO = {90^0} \Rightarrow MI \bot OI \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \( \Rightarrow M,K,I\) thẳng hàng
\( \Rightarrow KNIO\) nội tiếp đường tròn đường kính KO
\( \Rightarrow \angle MIN = \angle MOK\) và \(\angle MNI = \angle MKO\)
\( \Rightarrow \Delta MNI\)~\(\Delta MKO\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow MI.MK = MN.MO\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
