Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho đường tròn tâm \({\rm{O}}\), đường kính \({\rm{AB}}\). Trên đường tròn \(({\rm{O}})\) lấy
Cho đường tròn tâm \({\rm{O}}\), đường kính \({\rm{AB}}\). Trên đường tròn \(({\rm{O}})\) lấy điềm \({\rm{C}}\) khác \({\rm{B}}\) sao cho \({\rm{AC}} > {\rm{BC}}\). Hai tiếp tuyến của đường tròn \(({\rm{O}})\) tại \({\rm{A}}\) và \({\rm{C}}\) cắt nhau ở \({\rm{E}}\).
a) Chứng minh \({\rm{AOCE}}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \({\rm{H}}\) là giao điểm của \({\rm{AC}}\) và \({\rm{OE}}\). Đường thẳng đi qua \({\rm{O}}\) vuông góc với \({\rm{AB}}\) cắt \({\rm{CE}}\) và \({\rm{BC}}\) lần lượt tại \({\rm{M}}\) và \({\rm{N}},{\rm{EN}}\) cắt \({\rm{OC}}\) tại \({\rm{K}},{\rm{OE}}\) cắt \({\rm{AN}}\) tai \({\rm{I}}\). Đường thẳng \({\rm{BE}}\) cắt đường tròn \(({\rm{O}})\) tại \({\rm{F}}\) (\({\rm{F}}\) khác \({\rm{B}}\)). Chứng minh tam giác \({\rm{EHB}}\) đồng dạng với tam giác \({\rm{EFO}}\) và MI.MK = MN.MO.
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do EA, EC là tiếp tuyến nên \(\angle ECO = \angle EAO = {90^0}\)
Xét tứ giác AOCE có \(\angle ECO + \angle EAO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AOCE nội tiếp (dhnb)
b) Ta có \(EC = EA\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OC = OA = R\)
\( \Rightarrow OE\) là trung trực của AC
\( \Rightarrow OE \bot AC\) tại H là trung điểm của AB
\( \Rightarrow \Delta EAO\) vuông tại A, đường cao AH có \(E{A^2} = EH.EO\)
\(\angle AFB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AF \bot EB\)
\( \Rightarrow \Delta EAB\) vuông tại A, đường cao AF có \(E{A^2} = EF.EB\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow EF.EB = EH.EO\\ \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{EH}} = \dfrac{{EO}}{{EB}}\end{array}\)
Mà \(\angle OEB\) chung nên \(\Delta EFO\)~\(\Delta EHB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle EOF = \angle EBH\)
\( \Rightarrow OHFB\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle HOF = \angle HBF\)
Mà \(\angle OEB\) chung nên \(\Delta EHB\)~\(\Delta EFO\left( {g.g} \right)\) đpcm
Ta có \(\angle CBO = \angle EOA = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AC \Rightarrow BC\parallel EO\)
Mà \(ON\parallel EA\left( { \bot AB} \right) \Rightarrow \angle BNO = \angle OEA\)
Mà \(\angle OEA = \angle OEC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \angle CNO = \angle CEO \Rightarrow CNEO\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle OCE = \angle ONE = {90^0} \Rightarrow ON \bot EK\)
\( \Rightarrow \Delta KEO\) có ON, EC là đường cao cắt nhau tại M nên M là trực tâm
\( \Rightarrow MK \bot EO\) (1)
Ta có \(\angle MNK = \angle MCK = {90^0} \Rightarrow NMCK\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle CMK = \angle CNK\) (cùng chắn CK)
\(\angle CNK = \angle CBA\) (so le trong)
\(\angle CBA = \angle COI\left( { = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AC} \right)\)
\( \Rightarrow \angle KMC = \angle COI \Rightarrow MCOI\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle OIM = {180^0} - \angle MCO = {90^0} \Rightarrow MI \bot OI \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \( \Rightarrow M,K,I\) thẳng hàng
\( \Rightarrow KNIO\) nội tiếp đường tròn đường kính KO
\( \Rightarrow \angle MIN = \angle MOK\) và \(\angle MNI = \angle MKO\)
\( \Rightarrow \Delta MNI\)~\(\Delta MKO\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow MI.MK = MN.MO\)
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
