Cho hình chóp \(S.ABC\) đáy là tam giác đều cạnh \(a\) với \(O\) là

Câu hỏi số 723162:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) đáy là tam giác đều cạnh \(a\) với \(O\) là trọng tâm. Biết \(SO \bot BC,SO \bot CA\) và \(SO = 2a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đường cao \(AA'\) của tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và song song với \(BC\) và \(SO\). Đặt \(AM = x\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \le x \le \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Tìm \(x\) để diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất (Lấy a = 1 và kết quả làm tròn đến số thập phân thứ 2)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Xem lời giải

Câu hỏi:723162

Giải chi tiết

Xác định thiết diện:

Theo giả thiết \(AM = x\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \le x \le \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\) nên \(M \in OA'\).

Xét \(\left( P \right)\) và tam giác \(\left( {ABC} \right)\) có \(M\) chung.

Do \(\left( P \right)//BC\) nên kẻ qua \(M\) đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB,AC\) tại \(E,F\).

Tương tự kẻ qua \(M\) đường thẳng song song với \(SO\) cắt \(SA'\) tại \(N\), qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SB,SC\) tại \(H,Q\)

Do vậy, thiết diện của chóp cắt bởi \(\left( P \right)\) là tứ giác \(EFGH\).

Xác định diện tích thiết diện:

Ta có \(EF//BC//GH\) và \(M,N\) là trung điểm \(EF,GH\) nên \(EFGH\) là hình thang cân đáy \(HG,EF\). Khi đó \({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN\).

Ta có \(\dfrac{{HG}}{{BC}} = \dfrac{{SN}}{{SA'}} = \dfrac{{OM}}{{OA'}} \Rightarrow HG = 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right),\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} = \dfrac{x}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow EF = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}x\)

\(\dfrac{{MN}}{{SO}} = \dfrac{{MA'}}{{OA'}} \Rightarrow MN = 2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\).

\({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN = \dfrac{2}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {6a - 4x\sqrt 3 } \right)\mathop \le \dfrac{1}{3} \cdot {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\). (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(4x\sqrt 3 - 3a = 6a - 4x\sqrt 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{8}\)

Vậy \({S_{EFGH}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{3}{4}{a^2}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{8}=0,65\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.