Cho hình chóp \(S.ABC\) đáy là tam giác đều cạnh \(a\) với \(O\) là
Cho hình chóp \(S.ABC\) đáy là tam giác đều cạnh \(a\) với \(O\) là trọng tâm. Biết \(SO \bot BC,SO \bot CA\) và \(SO = 2a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đường cao \(AA'\) của tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và song song với \(BC\) và \(SO\). Đặt \(AM = x\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \le x \le \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Tìm \(x\) để diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất (Lấy a = 1 và kết quả làm tròn đến số thập phân thứ 2)
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Xác định thiết diện:
Theo giả thiết \(AM = x\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \le x \le \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\) nên \(M \in OA'\).
Xét \(\left( P \right)\) và tam giác \(\left( {ABC} \right)\) có \(M\) chung.
Do \(\left( P \right)//BC\) nên kẻ qua \(M\) đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB,AC\) tại \(E,F\).
Tương tự kẻ qua \(M\) đường thẳng song song với \(SO\) cắt \(SA'\) tại \(N\), qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SB,SC\) tại \(H,Q\)
Do vậy, thiết diện của chóp cắt bởi \(\left( P \right)\) là tứ giác \(EFGH\).
Xác định diện tích thiết diện:
Ta có \(EF//BC//GH\) và \(M,N\) là trung điểm \(EF,GH\) nên \(EFGH\) là hình thang cân đáy \(HG,EF\). Khi đó \({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN\).
Ta có \(\dfrac{{HG}}{{BC}} = \dfrac{{SN}}{{SA'}} = \dfrac{{OM}}{{OA'}} \Rightarrow HG = 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right),\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} = \dfrac{x}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow EF = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}x\)
\(\dfrac{{MN}}{{SO}} = \dfrac{{MA'}}{{OA'}} \Rightarrow MN = 2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\).
\({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN = \dfrac{2}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {6a - 4x\sqrt 3 } \right)\mathop \le \dfrac{1}{3} \cdot {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\). (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(4x\sqrt 3 - 3a = 6a - 4x\sqrt 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{8}\)
Vậy \({S_{EFGH}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{3}{4}{a^2}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{8}=0,65\).
Đáp án cần điền là: 0,65
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
