Cho hình chóp $S.ABC$ đáy là tam giác đều cạnh $a$ với $O$ là

Câu hỏi số 723162:

Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABC$ đáy là tam giác đều cạnh $a$ với $O$ là trọng tâm. Biết $SO \bot BC,SO \bot CA$ và $SO = 2a$ . Gọi $M$ là điểm thuộc đường cao $AA'$ của tam giác $ABC$ . Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và song song với $BC$ và $SO$ . Đặt $AM = x\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \le x \le \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)$ . Tìm $x$ để diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi $\left( P \right)$ đạt giá trị lớn nhất (Lấy a = 1 và kết quả làm tròn đến số thập phân thứ 2)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723162

Giải chi tiết

Xác định thiết diện:

Theo giả thiết $AM = x\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \le x \le \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)$ nên $M \in OA'$ .

Xét $\left( P \right)$ và tam giác $\left( {ABC} \right)$ có $M$ chung.

Do $\left( P \right)//BC$ nên kẻ qua $M$ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$ .

Tương tự kẻ qua $M$ đường thẳng song song với $SO$ cắt $SA'$ tại $N$ , qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $SB,SC$ tại $H,Q$

Do vậy, thiết diện của chóp cắt bởi $\left( P \right)$ là tứ giác $EFGH$ .

Xác định diện tích thiết diện:

Ta có $EF//BC//GH$ và $M,N$ là trung điểm $EF,GH$ nên $EFGH$ là hình thang cân đáy $HG,EF$ . Khi đó ${S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN$ .

Ta có $\dfrac{{HG}}{{BC}} = \dfrac{{SN}}{{SA'}} = \dfrac{{OM}}{{OA'}} \Rightarrow HG = 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right),\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} = \dfrac{x}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow EF = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}x$

$\dfrac{{MN}}{{SO}} = \dfrac{{MA'}}{{OA'}} \Rightarrow MN = 2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)$ .

${S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN = \dfrac{2}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)$

$=\dfrac{1}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {6a - 4x\sqrt 3 } \right)\mathop \le \dfrac{1}{3} \cdot {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}$ . (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $4x\sqrt 3 - 3a = 6a - 4x\sqrt 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{8}$

Vậy ${S_{EFGH}}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{3}{4}{a^2}$ khi và chỉ khi $x = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{8}=0,65$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.