Cho hình chóp \(S.ABC\) đáy là tam giác đều cạnh \(a\) với \(O\) là

Câu hỏi số 723162:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) đáy là tam giác đều cạnh \(a\) với \(O\) là trọng tâm. Biết \(SO \bot BC,SO \bot CA\) và \(SO = 2a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đường cao \(AA'\) của tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và song song với \(BC\) và \(SO\). Đặt \(AM = x\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \le x \le \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Tìm \(x\) để diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất (Lấy a = 1 và kết quả làm tròn đến số thập phân thứ 2)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723162

Giải chi tiết

Xác định thiết diện:

Theo giả thiết \(AM = x\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \le x \le \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\) nên \(M \in OA'\).

Xét \(\left( P \right)\) và tam giác \(\left( {ABC} \right)\) có \(M\) chung.

Do \(\left( P \right)//BC\) nên kẻ qua \(M\) đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB,AC\) tại \(E,F\).

Tương tự kẻ qua \(M\) đường thẳng song song với \(SO\) cắt \(SA'\) tại \(N\), qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SB,SC\) tại \(H,Q\)

Do vậy, thiết diện của chóp cắt bởi \(\left( P \right)\) là tứ giác \(EFGH\).

Xác định diện tích thiết diện:

Ta có \(EF//BC//GH\) và \(M,N\) là trung điểm \(EF,GH\) nên \(EFGH\) là hình thang cân đáy \(HG,EF\). Khi đó \({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN\).

Ta có \(\dfrac{{HG}}{{BC}} = \dfrac{{SN}}{{SA'}} = \dfrac{{OM}}{{OA'}} \Rightarrow HG = 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right),\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} = \dfrac{x}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow EF = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}x\)

\(\dfrac{{MN}}{{SO}} = \dfrac{{MA'}}{{OA'}} \Rightarrow MN = 2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\).

\({S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right)MN = \dfrac{2}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {6a - 4x\sqrt 3 } \right)\mathop \le \dfrac{1}{3} \cdot {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\). (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(4x\sqrt 3 - 3a = 6a - 4x\sqrt 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{8}\)

Vậy \({S_{EFGH}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{3}{4}{a^2}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{8}=0,65\).

Đáp án cần điền là: 0,65

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.