Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông, biết \(AB =

Câu hỏi số 723179:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông, biết $AB = 1,\,\,\angle SAD = {90^0}$ và tam giác $SAB$ là tam giác đều. Gọi $Dt$ là đường thẳng đi qua $D$ và song song với $SC,\,\,I$ là giao điểm của $Dt$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ . Thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ với mặt phẳng $\left( {AIC} \right)$ có diện tích là:

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723179

Phương pháp giải

+ Xác định điểm $I$ .

+ Xác định thiết diện.

+ Sử dụng công thức He-rong để tính diện tích tam giác: ${S_{\Delta AEC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$ .

Giải chi tiết

Trong $\left( {SCD} \right)$ kẻ $Dt\parallel SC$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \supset AB,\,\,\left( {SCD} \right) \supset CD\\AB\parallel CD\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow$ Giao tuyến của $\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB,\,\,CD$ . Trong $\left( {SAB} \right)$ kẻ $Sx\parallel AB \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx$ .

Trong $\left( {SCD} \right)$ gọi $I = Dt \cap Sx$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}I \in Dt\\I \in Sx \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = Dt \cap \left( {SAB} \right)$ .

Trong $\left( {SCD} \right)$ gọi $E = CI \cap SD$ , khi đó thiết diện của chóp cắt bởi $\left( {AIC} \right)$ là tam giác $AEC$ .

$ABCD$ là hình vuông cạnh $1 \Rightarrow AC = \sqrt 2$ .

Dễ dàng chứng minh được $SBAI,\,\,SCDI$ là hình bình hành $\Rightarrow AI = SB = 1,\,\,E$ là trung điểm của $SD,\,\,IC$ .

Tam giác $SAD$ có $SA = AD = 1,\,\,\angle SAD = {90^0} \Rightarrow \Delta SAD$ vuông cân tại $A \Rightarrow SD = SA\sqrt 2 = \sqrt 2$ .

$\Rightarrow AE = \dfrac{1}{2}SD = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ .

Xét tam giác $IAC$ có:

$\begin{array}{l}A{E^2} = \dfrac{{A{I^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{I{C^2}}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{{1^2} + 2.{1^2}}}{2} - \dfrac{{I{C^2}}}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{I{C^2}}}{4} = {1^2} \Leftrightarrow I{C^2} = 4{1^2} \Leftrightarrow IC = 2 \Rightarrow EC = \dfrac{1}{2}IC = 1\end{array}$

Khi đó áp dụng công thức Hê-rông ta có: ${S_{\Delta AEC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{8}=0,33$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.