a) Giải phương trình \(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} \).b) Cho các số thực dương

Câu hỏi số 723962:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} \).

b) Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \le 2\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{10}}{{xy}} + 8xy + 3.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723962

Phương pháp giải

a) Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

b) Áp dụng BĐT AM – GM.

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \( - 2 \le x \le 1;x \ge 2\)

\(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} \)

\(2[({x^2} - 2x + 4) - (x + 2)] = 3\sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)} \) (*)

Đặt \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} = a\,\,(a \ge 0);\sqrt {x + 2} = b\,\,(b \ge 0)\)

Phương trình (*)\( \Leftrightarrow 2({a^2} - {b^2}) = 3ab\)

\( \Leftrightarrow 2{a^2} - 2{b^2} - 3ab = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{a^2} - 2{b^2} - 4ab + ab = 0\)

\( \Leftrightarrow (2{a^2} - 4ab) - (2{b^2} - ab) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2a(a - 2b) - b(2b - a) = 0\)

\( \Leftrightarrow (a - 2b)(2a + b) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2b(tm)\\b = - 2a(ktm)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 4} = 2\sqrt {x + 2} \)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 = 4(x + 2)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 - 4x - 8 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {13} \\x = 3 - \sqrt {13} \end{array} \right.(tm)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {3 + \sqrt {13} ;3 - \sqrt {13} } \right\}\)

b) Theo BĐT AM-GM ta có:\(xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{2^2}}}{4} = 1\)

Lại có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} ;\,\,\,\,\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {ab} }}\)

\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge 4 \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)

\( \Rightarrow P = \dfrac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{3}{{2xy}} + 8xy + \dfrac{8}{{xy}} + \dfrac{1}{{2xy}} + 3 \ge \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 2.\sqrt {8xy.\dfrac{8}{{xy}}} + \dfrac{1}{2} + 3 \ge \dfrac{{12}}{{{2^2}}} + 2.8 + \dfrac{1}{2} + 3 = \dfrac{{45}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\dfrac{{45}}{2}\) khi \(x = y = 1\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.