a) Giải phương trình \(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} \).b) Cho các số thực dương

Câu hỏi số 723962:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình \(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} \).

b) Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \le 2\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{10}}{{xy}} + 8xy + 3.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723962

Phương pháp giải

a) Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

b) Áp dụng BĐT AM – GM.

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \( - 2 \le x \le 1;x \ge 2\)

\(2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} \)

\(2[({x^2} - 2x + 4) - (x + 2)] = 3\sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)} \) (*)

Đặt \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} = a\,\,(a \ge 0);\sqrt {x + 2} = b\,\,(b \ge 0)\)

Phương trình (*)\( \Leftrightarrow 2({a^2} - {b^2}) = 3ab\)

\( \Leftrightarrow 2{a^2} - 2{b^2} - 3ab = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{a^2} - 2{b^2} - 4ab + ab = 0\)

\( \Leftrightarrow (2{a^2} - 4ab) - (2{b^2} - ab) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2a(a - 2b) - b(2b - a) = 0\)

\( \Leftrightarrow (a - 2b)(2a + b) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2b(tm)\\b = - 2a(ktm)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 4} = 2\sqrt {x + 2} \)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 = 4(x + 2)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 - 4x - 8 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {13} \\x = 3 - \sqrt {13} \end{array} \right.(tm)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {3 + \sqrt {13} ;3 - \sqrt {13} } \right\}\)

b) Theo BĐT AM-GM ta có:\(xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{2^2}}}{4} = 1\)

Lại có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} ;\,\,\,\,\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {ab} }}\)

\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge 4 \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\)

\( \Rightarrow P = \dfrac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{3}{{2xy}} + 8xy + \dfrac{8}{{xy}} + \dfrac{1}{{2xy}} + 3 \ge \dfrac{{12}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 2.\sqrt {8xy.\dfrac{8}{{xy}}} + \dfrac{1}{2} + 3 \ge \dfrac{{12}}{{{2^2}}} + 2.8 + \dfrac{1}{2} + 3 = \dfrac{{45}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\dfrac{{45}}{2}\) khi \(x = y = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link