1) Mảnh vườn nhà nhà ông An có hình dạng là tứ giác ABCD (như hình vẽ). Biết AB vuông góc

Câu hỏi số 723961:

Vận dụng

1) Mảnh vườn nhà nhà ông An có hình dạng là tứ giác ABCD (như hình vẽ). Biết AB vuông góc với CD tại $H;AB = 4m$ ; $BC = 26m;CD = 16m;\sin \angle {BCD} = \dfrac{5}{{13}}$ . Tính diện tích của mảnh vườn (phần hình ADCB).

2) Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC. Tiếp tuyến với (O) tại A cắt đường thẳng BC tại M. Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng các điểm A, O, H, M cùng nằm trên một đường tròn và $M{A^2} = MB \cdot MC$ .

b) Từ điểm C kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường kính AD của đường tròn (O) tại K. Chứng minh HK đi qua trung điểm của CD.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723961

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để tính và chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có $HBC$ vuông tại H nên $HB = BC.\sin \angle BCD = 26.\dfrac{5}{{13}} = 10m$

$\Rightarrow HC = \sqrt {B{C^2} - H{B^2}} = \sqrt {{{26}^2} - {{10}^2}} = 24m$

$\begin{array}{l} \Rightarrow HA = HB - AB = 10 - 4 = 6m\\\,\,\,\,\,\,\,HD = HC - CD = 24 - 16 = 8m\\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = {S_{HBC}} - {S_{HAD}} = \dfrac{1}{2}HB.HC - \dfrac{1}{2}HA.HD\\ = \dfrac{1}{2}.10.24 - \dfrac{1}{2}.6.8 = 96{m^2}\end{array}$

Vậy diện tích tứ giác ABCD bằng 96 ${m^2}$ .

a) Do MA là tiếp tuyến nên $\angle MAO = {90^0}$

Do H là trung điểm của BC nên $OH \bot BC \Rightarrow \angle MHO = {90^0}$ (quan hệ đường kính, dây cung)

Xét tứ giác MAOH có $\angle MAO + \angle MHO = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác MAOH nội tiếp (dhnb)

Vậy A, O, H, M cùng nằm trên một đường tròn.

Xét $\Delta MAB$ và $\Delta MCA$ có

$\angle AMC$ chung

$\angle MAB = \angle MCA$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MAB\sim\Delta MCA\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{MB}}{{MA}}\\ \Rightarrow M{A^2} = MB.MC\end{array}$

b) Do $CK\parallel MO \Rightarrow \angle KCH = \angle HMO$ (so le trong)

$\angle HMO = \angle HAO$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OH)

$\Rightarrow \angle KCH = \angle HAO \Rightarrow KCAH$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle CHK = \angle CAK$ (cùng chắn cung CK)

$\angle CAK = \angle CBD$ (cùng chắn cung CD)

$\Rightarrow \angle CHK = \angle CBD \Rightarrow HK\parallel BD$ (hai góc đồng vị bằng nhau)

Mà H là trung điểm của BC nên HK là đường trung bình của $\Delta CBD$

$\Rightarrow HK$ đi qua trung điểm của CD

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.