Cho \(\Delta ABC\) nhọn có \(AB < AC\). Các đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là

Câu hỏi số 731654:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) nhọn có \(AB < AC\). Các đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) và từ \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AC\) hai đường thẳng này cắt nhau tại \(K\).
a) Chứng minh \(BHCK\) là hình bình hành
b) Chứng minh \(H,M,K\) thẳng hàng.
c) Từ \(H\) vẽ \(HG \bot BC\). Trên tia \(HG\) lấy \(I\) sao cho \(HG = GI\). Chứng minh \(HM.HI = HG.HK\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:731654

Phương pháp giải

a) Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

b) Dựa vào tính chất hai đường chéo trong hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

c) Tính chất đường trung bình và định lí Thalès.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BH \bot AC\left( {gt} \right)}\\{KC \bot AC\left( {gt} \right)}\end{array} \Rightarrow BH//KC} \right.\)

Và \({\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CH \bot AB\left( {gt} \right)}\\{KB \bot AB\left( {gt} \right)}\end{array} \Rightarrow CH//KB} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow BHCK\) là hình bình hành.
b) Vì \(BHCK\) là hình bình hành nên \(BC\) cắt \(HK\) tại trung điểm của mỗi đường (tính chất)
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\left( {{\rm{gt}}} \right)\)
Suy ra M là trung điểm của \(HK\)
Vậy M, H, K thẳng hàng.

c) Xét \(\Delta HIK\) có:

G là trung điểm của HI (vì \(HG = GI\))
M là trung điểm \(HK\) (cmt)
Suy ra MG là đường trung bình của \(\Delta HIK\)

\(\; \Rightarrow {\rm{GM}}//{\rm{IK}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{HM}}{{HK}} = \dfrac{{HG}}{{HI}}\) (định lí Thalès) hay \(HM.HI = HG.HK\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.