Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi \({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{P}}\) lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi \({\rm{M}},{\rm{N}},{\rm{P}}\) lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Trên tia BN vẽ điểm K sao cho N là trung điểm BK. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCK là hình bình hành.
b) AP vuông góc BC và tứ giác AMPN là hình thoi.
c) Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng PM và AK. Chứng minh: BH vuông góc với AK .
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
b) Chứng minh 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.
c) Chứng minh AHBP là hình chữ nhật từ đó BH vuông góc với AK.
a) Vì N là trung điểm AC (gt) và N là trung điểm của BK (gt)
Mà AC và BK là 2 đường chéo của tứ giác ABCK nên tứ giác ABCK là hình bình hành.
b) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A có P là trung điểm của BC, nên AP là đường trung tuyến
Suy ra AP đồng thời là đường cao ứng với BC
\( \Rightarrow {\rm{AP}} \bot {\rm{BC}}\)
Vì N là trung điểm \({\rm{AC}}\left( {{\rm{gt}}} \right)\), P là trung điểm \({\rm{BC}}\left( {{\rm{gt}}} \right)\)
Khi đó NP là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra \({\rm{PN}} = \dfrac{1}{2}{\rm{AB}}\) (tc đường trung bình của tam giác)
Chứng minh tương tự ta được: \({\rm{PM}} = \dfrac{1}{2}{\rm{AC}}\)
Mà \({\rm{AN}} = \dfrac{1}{2}{\rm{AC}};{\rm{AM}} = \dfrac{1}{2}{\rm{AB}}\left( {{\rm{gt}}} \right)\)
Có \({\rm{AB}} = {\rm{AC}}\,\,(\Delta {\rm{ABC}}\) cân tại A)
Suy ra \({\rm{AM}} = {\rm{AN}} = {\rm{MP}} = {\rm{NP}}\)
Vậy tứ giác AMPN là hình thoi.
c) Vì tứ giác ABCK là hình bình hành (theo câu a) nên \({\rm{AK}}//{\rm{BC}}\) mà \({\rm{H}} \in {\rm{AK}};{\rm{P}} \in {\rm{BC}}\)
\( \Rightarrow {\rm{AH}}//{\rm{BP}}\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta BMP\) có:
\(\angle {{\rm{HAM}}} = \angle {{\rm{MBP}}}\) (2 góc so le trong của \({\rm{AH}}//{\rm{BP}})\)
\({\rm{MA}} = {\rm{MB}}\left( {{\rm{gt}}} \right)\)
\(\angle {{\rm{HMA}}} = \angle {{\rm{BMP}}}\) (2 góc đối đỉnh\()\)
Nên \(\Delta HAM = \Delta PBM\) (g.c.g)
\( \Rightarrow {\rm{AH}} = {\rm{BP}}\) (2 cạnh tương úng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHBP là hình bình hành
Có \({\rm{AP}} \bot {\rm{BP}}\) (cm câu b) suy ra AHBP là hình chữ nhật
Nên \(\angle {{\rm{AHB}}} = 90^\circ \)
Vậy \({\rm{BH}} \bot {\rm{AK}}\) tại H
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
