Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $\left( P \right)\,\,:\,\,\,\,x + y + 4z - 3 = 0$ và điểm \(A\left(

Câu hỏi số 734741:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $\left( P \right)\,\,:\,\,\,\,x + y + 4z - 3 = 0$ và điểm $A\left( {1;\,1;\,3} \right)$ . Mặt phẳng $\left( Q \right)\parallel \left( P \right)$ và cắt các tia $Ox,\,Oy$ lần lượt tại các điểm $B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $2\sqrt {22}$ . Khoảng cách từ điểm $M\left( {2;\,2;\,1} \right)$ đến $\left( Q \right)$ bằng:

2 \sqrt{2}

$2\sqrt 2$ .

\frac{8 \sqrt{6}}{3}

$\dfrac{{8\sqrt 6 }}{3}$ .

\frac{\sqrt{6}}{3}

$\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}$ .

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

$\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:734741

Giải chi tiết

Mặt phẳng $\left( Q \right)\parallel \left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right)$ có dạng: $x + y + 4z + d = 0\,\,\left( {d \ne - 3} \right)$ .

$\left( Q \right) \cap Ox = B\left( { - d;\,0;\,0} \right),\,\,\,\left( Q \right) \cap Oy = C\left( {0;\, - d;\,0} \right)$ .

Do $B$ , $C$ lần lượt thuộc các tia $Ox,\,Oy \Rightarrow$ $d < 0$ .

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - d - 1;\, - 1;\, - 3} \right),\,\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;\, - d - 1;\, - 3} \right)$ .

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3d;\, - 3d;\,{d^2} + 2d} \right)$

${S_{\Delta ABC}} = 2\sqrt {22} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 2\sqrt {22}$

$\Leftrightarrow 9{d^2} + 9{d^2} + {\left( {{d^2} + 2d} \right)^2} = 352$

$\Leftrightarrow {d^4} + 4{d^3} + 22{d^2} - 352 = 0\,\,\left( * \right)$

Giải $\left( * \right)$ chỉ có $d = - 4$ thỏa mãn.

Khi đó ta có phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):\,x + y + 4z + 4 = 0$ .

Khoảng cách từ điểm $M\left( {2;\,2;\,1} \right)$ đến $\left( Q \right)$ bằng: $\dfrac{{\left| {2 + 2 + 4.1 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }} = 2\sqrt 2 .$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.