Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\,\,:\,\,\,\,x + y + 4z - 3 = 0\) và điểm \(A\left(

Câu hỏi số 734741:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\,\,:\,\,\,\,x + y + 4z - 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;\,1;\,3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\parallel \left( P \right)\) và cắt các tia \(Ox,\,Oy\) lần lượt tại các điểm \(B\) và \(C\) sao cho tam giác \(ABC\) có diện tích bằng \(2\sqrt {22} \). Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;\,2;\,1} \right)\) đến \(\left( Q \right)\) bằng:

A. \(2\sqrt 2 \).

B. \(\dfrac{{8\sqrt 6 }}{3}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

D. \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:734741

Giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\parallel \left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right)\) có dạng: \(x + y + 4z + d = 0\,\,\left( {d \ne - 3} \right)\).

\(\left( Q \right) \cap Ox = B\left( { - d;\,0;\,0} \right),\,\,\,\left( Q \right) \cap Oy = C\left( {0;\, - d;\,0} \right)\).

Do \(B\), \(C\) lần lượt thuộc các tia \(Ox,\,Oy \Rightarrow \) \(d < 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - d - 1;\, - 1;\, - 3} \right),\,\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;\, - d - 1;\, - 3} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3d;\, - 3d;\,{d^2} + 2d} \right)\)

\({S_{\Delta ABC}} = 2\sqrt {22} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 2\sqrt {22}\)

\( \Leftrightarrow 9{d^2} + 9{d^2} + {\left( {{d^2} + 2d} \right)^2} = 352\)

\( \Leftrightarrow {d^4} + 4{d^3} + 22{d^2} - 352 = 0\,\,\left( * \right)\)

Giải \(\left( * \right)\) chỉ có \(d = - 4\) thỏa mãn.

Khi đó ta có phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):\,x + y + 4z + 4 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;\,2;\,1} \right)\) đến \(\left( Q \right)\) bằng: \(\dfrac{{\left| {2 + 2 + 4.1 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }} = 2\sqrt 2 .\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.