Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) bán kính R (cm), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn

Câu hỏi số 976392:

Vận dụng

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) bán kính R (cm), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Biết tam giác ABC là tam giác đều và diện tích của tứ giác ABOC là $S = kR^{2}$ (cm${}^{2}$). Tìm $k^{6}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976392

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài cạnh, từ đó tính diện tích tam giác và tứ giác.

Giải chi tiết

Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại A nên AO là tia phân giác của $\angle BAC$.

Vì tam giác ABC đều nên $\angle BAC = 60^{{^\circ}}$, suy ra $\angle BAO = 30^{{^\circ}}$.

Xét tam giác ABO vuông tại B, ta có:

$\left. \tan(\angle BAO) = \dfrac{OB}{AB}\Rightarrow\tan 30^{{^\circ}} = \dfrac{R}{AB}\Rightarrow AB = \dfrac{R}{\tan 30^{{^\circ}}} = R\sqrt{3} \right.$.

Diện tích tam giác vuông ABO là: $S_{ABO} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot R = \dfrac{\sqrt{3}}{2}R^{2}$.

Tứ giác ABOC có $AB = AC$ và $OB = OC$ nên AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC, suy ra hai tam giác vuông ABO và ACO bằng nhau.

Do đó, diện tích tứ giác ABOC là: $S = 2S_{ABO} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}R^{2} = \sqrt{3}R^{2}$.

Theo đề bài, diện tích này bằng $kR^{2}$, suy ra $k = \sqrt{3}$.

Vậy $k^{6} = {(\sqrt{3})}^{6} = 3^{3} = 27$.

Đáp án cần điền là: 27

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link