Đề thi Đại học môn Toán khối A và A1 năm 2012

Câu 1: Cho  hàm số y = x⁴ – 2(m + 1)x² + m²  (1), với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0. b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

Câu 2: Giải phương trình √3sin2x + cos2x + 2cosx – 1 .

Câu 3: Giải hệ phương trình   (x, y ∈ R).

Câu 4: Tính tích phân I = dx.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60⁰. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Câu 6: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện  x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3^{|x – y|} + 3^{|y – z|} + 3^{|z – x|}  - .

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2^ND. Giả sử M(; ) và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.

Câu 8: Trong không gian với hệ tạo độ Oxyz, cho đường thẳng d :  = = và điểm I(0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.

Câu 9: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5 = . Tìm số hạng chứa x⁵ trong khai triển nhị thức Niu – tơn của ( - )ⁿ , x ≠ 0.

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ): x² + y² = 8. Viết phương trình chính tắc của Elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.

Câu 11: Trong không gian với hệ tạo độ Oxyz, cho đường thẳng d : =  = , mặt phẳng (P): x + y – 2z + 5 = 0 và điểm A(1; - 1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt tại M và N và A  là trung điểm của đoạn thẳng MN.