Cho , điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn: a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua trọng tâm G của khi M thay đổi. b. Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh rằng MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

Trang chủ

Toán 10

Vec tơ

Câu hỏi số 106086:

Vận dụng

Cho igtriangleup ABC , điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn:

underset{MN}{
ightarrow} = underset{MA}{
ightarrow} + underset{MB}{
ightarrow} + underset{MC}{
ightarrow}

a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua trọng tâm G của igtriangleup ABC khi M thay đổi.

b. Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh rằng MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106086

Giải chi tiết

a. Với G là trọng tâm igtriangleup ABC ta luôn có: underset{GA}{
ightarrow} + underset{GB}{
ightarrow} + underset{GC}{
ightarrow} = underset{0}{
ightarrow}

Từ giả thiết ta nhận được: underset{MN}{
ightarrow} = underset{MA}{
ightarrow} + underset{MB}{
ightarrow} + underset{MC}{
ightarrow} = underset{3MG}{
ightarrow} .

Vậy MN luôn đi qua trọng tâm G của igtriangleup ABC khi M thay đổi.

b. Vì P là trung điểm của CN nên:

$underset{MP}{ ightarrow} = frac{1}{2}(underset{MC}{ ightarrow} + underset{MN}{ ightarrow}) = frac{1}{2}(underset{MC}{ ightarrow} + underset{MA}{ ightarrow} + underset{MB}{ ightarrow} + underset{MC}{ ightarrow})$

$= frac{1}{2}(underset{MA}{ ightarrow} + underset{MB}{ ightarrow} + underset{2MC}{ ightarrow})$

Gọi J là điểm thỏa mãn:

underset{JA}{
ightarrow} + underset{JB}{
ightarrow} + underset{2JC}{
ightarrow} = underset{0}{
ightarrow} Leftrightarrow underset{JA}{
ightarrow} + (underset{JA}{
ightarrow} + underset{AB}{
ightarrow}) +2(underset{JA}{
ightarrow} + underset{AC}{
ightarrow}) = underset{0}{
ightarrow}

$Leftrightarrow underset{4AJ}{ ightarrow} = underset{AB}{ ightarrow} + underset{2AC}{ ightarrow} Leftrightarrow underset{AJ}{ ightarrow}=frac{1}{4}underset{AB}{ ightarrow} + frac{1}{2}underset{AC}{ ightarrow}$

Rightarrow tồn tại duy nhất điểm J cố định.

Từ đó: $underset{MP}{ ightarrow} = frac{1}{2}(underset{MA}{ ightarrow} + underset{MB}{ ightarrow} + underset{2MC}{ ightarrow}) = frac{1}{2} (1+1+2)underset{MJ}{ ightarrow} = underset{2MJ}{ ightarrow}$

Vậy MP luôn đi qua một điểm cố định J khi M thay đổi.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10