Cho , điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn: a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua trọng tâm G của khi M thay đổi. b. Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh rằng MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

Trang chủ

Toán 10

Vec tơ

Câu hỏi số 106086:

Vận dụng

Cho igtriangleup ABC , điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn:

underset{MN}{
ightarrow} = underset{MA}{
ightarrow} + underset{MB}{
ightarrow} + underset{MC}{
ightarrow}

a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua trọng tâm G của igtriangleup ABC khi M thay đổi.

b. Gọi P là trung điểm của CN. Chứng minh rằng MP luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106086

Giải chi tiết

a. Với G là trọng tâm igtriangleup ABC ta luôn có: underset{GA}{
ightarrow} + underset{GB}{
ightarrow} + underset{GC}{
ightarrow} = underset{0}{
ightarrow}

Từ giả thiết ta nhận được: underset{MN}{
ightarrow} = underset{MA}{
ightarrow} + underset{MB}{
ightarrow} + underset{MC}{
ightarrow} = underset{3MG}{
ightarrow} .

Vậy MN luôn đi qua trọng tâm G của igtriangleup ABC khi M thay đổi.

b. Vì P là trung điểm của CN nên:

$underset{MP}{ ightarrow} = frac{1}{2}(underset{MC}{ ightarrow} + underset{MN}{ ightarrow}) = frac{1}{2}(underset{MC}{ ightarrow} + underset{MA}{ ightarrow} + underset{MB}{ ightarrow} + underset{MC}{ ightarrow})$

$= frac{1}{2}(underset{MA}{ ightarrow} + underset{MB}{ ightarrow} + underset{2MC}{ ightarrow})$

Gọi J là điểm thỏa mãn:

underset{JA}{
ightarrow} + underset{JB}{
ightarrow} + underset{2JC}{
ightarrow} = underset{0}{
ightarrow} Leftrightarrow underset{JA}{
ightarrow} + (underset{JA}{
ightarrow} + underset{AB}{
ightarrow}) +2(underset{JA}{
ightarrow} + underset{AC}{
ightarrow}) = underset{0}{
ightarrow}

$Leftrightarrow underset{4AJ}{ ightarrow} = underset{AB}{ ightarrow} + underset{2AC}{ ightarrow} Leftrightarrow underset{AJ}{ ightarrow}=frac{1}{4}underset{AB}{ ightarrow} + frac{1}{2}underset{AC}{ ightarrow}$

Rightarrow tồn tại duy nhất điểm J cố định.

Từ đó: $underset{MP}{ ightarrow} = frac{1}{2}(underset{MA}{ ightarrow} + underset{MB}{ ightarrow} + underset{2MC}{ ightarrow}) = frac{1}{2} (1+1+2)underset{MJ}{ ightarrow} = underset{2MJ}{ ightarrow}$

Vậy MP luôn đi qua một điểm cố định J khi M thay đổi.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.