Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4( + )

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 12419:

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a² + b²) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4( $\frac{a^{3}}{b^{3}}$ + $\frac{b^{3}}{a^{3}}$ ) - 9( $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ + $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ )

A. minP = 2

B. minP = - $\frac{23}{4}$

C. minP = 1

D. minP = $\frac{23}{4}$

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:12419

Giải chi tiết

Theo giả thuyết ta có: 2(a² + b²) + ab = (a + b)(ab + 2)

Từ đây suy ra:

2( $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ ) + 1 = ( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ )(ab + 2) hay 2( $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ ) + 1 = a + $\frac{2}{b}$ + b + $\frac{2}{a}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a + $\frac{2}{b}$ + b + $\frac{2}{a}$ ≥ 2√2 ( $\sqrt{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt{\frac{b}{a}}$ )

Đặt t = $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ , ta suy ra: 2t + 1 ≥ 2 $\sqrt{2}\sqrt{t+2}$ ⇒ 4t² – 4t – 15 ≥ 0 ⇒ t ≥ $\frac{5}{2}$

Mặt khác: P = 4( $\frac{a^{3}}{b^{3}}$ + $\frac{b^{3}}{a^{3}}$ ) - 9( $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ + $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ ) = 4(t³ – 3t) – 9(t² – 2) = 4t³ – 9t² – 12t + 18 = f(t)

f’(t) = 12t² – 18t – 12, f’(t) = 0 ⇒ $\begin{bmatrix} t=-\frac{1}{2}\\ t=2 \end{bmatrix}$ ⇒ Min f(t) = - $\frac{23}{4}$ khi t = $\frac{5}{2}$

Vậy minP = - $\frac{23}{4}$ khi và chỉ khi $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ = $\frac{5}{2}$ và a + b = 2( $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ )

⇔ a = 1 và b = 2 hoặc a = 2 và b = 1

Lưu ý:

Đặt t = $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} t^{3}=\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}+3\frac{a}{b}.\frac{b}{a}(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})=\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}+3t\\ t^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2 \end{matrix}\right.$

⇒ $\left\{\begin{matrix} \frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{2}}{a^{3}}=t^{3}-3t\\ \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}=t^{2}-2 \end{matrix}\right.$

Suy ra: P = 4(t³ – 3t) – 9(t² – 2) = 4t³ – 9t² – 12t + 18

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.