Cho a, b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 12635:

Cho a, b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}}$ - $\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}$ .

A. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{5}{2}$ .

B. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{5}{8}$ .

C. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{5}{3}$ .

D. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{5}{7}$ .

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:12635

Giải chi tiết

Ta có: (a + b) $\sqrt{(a+2c)(b+2c)}$ ≤(a + b) $\frac{a+b+4c}{2}$ = $\frac{a^{2}+b^{2}+2ab+4ac+4bc}{2}$ ≤ 2(a² + b² + c²).

Đặt t = $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}$ , suy ra t > 2 và P ≤ - $\frac{4}{t}$ - $\frac{9}{2(t^{2}-4)}$

Xét f(t) = $\frac{4}{t}$ - $\frac{9}{2(t^{2}-4)}$ , với t > 2. Ta có f’(t) = - $\frac{4}{t^{2}}$ + $\frac{9t}{(t^{2}-4)^{2}}$

= $\frac{-(t-4)(4t^{3}+7t^{2}-4t-16)}{t^{2}(t^{2}-4)^{2}}$

Với t > 2 ta có 4t³ + 7t² – 4t – 16 = 4(t³ – 4) + t(7t – 4) > 0. Do đó f’(t) = 0 ⇔t = 4.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta được P ≤ $\frac{5}{8}$

Khi a = b = c = 2 ta có P = $\frac{5}{8}$ . Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{5}{8}$ .

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.