Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3|x-y|+3|y-z|+3|z-x|-.

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14342:

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3^|x-y|+3^|y-z|+3^|z-x|- $\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}$ .

A. Pmin=2

B. Pmin=3

C. Pmin=4

D. Pmin=1

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:14342

Giải chi tiết

Trước tiên ta đi chứng mình:

3^t ≥t+1, $\forall$ t≥0 (*)

Thật vậy, xét hàm số f(t)=3^t –t-1 trên tập D=[0;+ ∞) ta có:

f’(t)=3^t.lnt-1>0, $\forall$ t∈D => hàm số đồng biến trên D

=>f(t) ≥f(0)=0

Bất đẳng thức (*) đúng và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t=0.

Áp dụng (*) ta được:

3^|x-y|+3^|y-z|+3^|z-x| ≥|x-y|+|y-z|+|z-x|+3 (1)

Áp dụng bất đẳng thức |a|+|b|≥|a+b|, ta được:

(|x-y|+|y-z|+|z-x|)²= |x-y|²+|y-z|²+|z-x|²+2|x-y|.|y-z|+2|y-z|.|z-x|+2|x-z|.|x-y|

=|x-y|²+|y-z|²+|z-x|²+|x-y|(|y-z|+|z-x|)+|y-z|(|z-x|+|x-y|)+|z-x|(|x-y|+|y-z|)

≥2(|x-y|²+|y-z|²+|z-x|²)

<=> |x-y|+|y-z|+|z-x| ≥ $\sqrt{2(|x-y|^{2}+|y-z|^{2}+|z-x|^{2})}$

= $\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}-2(x+y+z)^{2}}$

= $\sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra P ≥3, => Pmin=3 đạt được khi:

$\left\{\begin{matrix} x-y=y-z=z-x\\x+y+z=0 \end{matrix}\right.$ <=> x=y=z=0

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.