Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: +++≥3 Chứng minh rằng abcd≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14345:

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $\frac{1}{1+a}$ + $\frac{1}{1+b}$ + $\frac{1}{1+c}$ + $\frac{1}{1+d}$ ≥3 Chứng minh rằng abcd≤ $\frac{1}{81}$ Dấu đẳng thức xảy ra khi:

A. a=b=c=d=3

B. a=b=c=d=2

C. a=b=c=d=0

D. a=b=c=d=1

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:14345

Giải chi tiết

Từ giả thiết suy ra:

$\frac{1}{1+a}$ ≥(1- $\frac{1}{1+b}$ )+(1- $\frac{1}{1+c}$ )+(1- $\frac{1}{1+d}$ )= $\frac{b}{1+b}$ + $\frac{c}{1+c}$ + $\frac{d}{1+d}$

≥3 $\sqrt[3]{\frac{b}{1+b}.\frac{c}{1+c}.\frac{d}{1+d}}$ ≥0 (1)

Tương tự ta cũng có:

$\frac{1}{1+b}$ ≥3 $\sqrt[3]{\frac{a}{1+a}.\frac{c}{1+c}.\frac{d}{1+d}}$ ≥0 (2)

$\frac{1}{1+c}$ ≥3 $\sqrt[3]{\frac{a}{1+a}.\frac{b}{1+b}.\frac{d}{1+d}}$ ≥0 (3)

$\frac{1}{1+d}$ ≥3 $\sqrt[3]{\frac{a}{1+a}.\frac{b}{1+b}.\frac{c}{1+c}}$ ≥0 (4)

Nhân theo vế bất đẳng thức (1),(2),(3),(4) ta được:

$\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}$ ≥ $\frac{81abcd}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}$

<=> abcd≤ $\frac{1}{81}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\frac{a}{1+a}$ = $\frac{b}{1+b}$ = $\frac{c}{1+c}$ = $\frac{d}{1+d}$ = $\frac{3}{4}$ <=> a=b=c=d=3

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.