Cho\(\Delta ABC,\) gọi \({A_1},{C_1},{B_1}\) các điểm định bởi: \(2\overrightarrow {{A_1}B} +

Câu hỏi số 146493:

Vận dụng

Cho\(\Delta ABC,\) gọi \({A_1},{C_1},{B_1}\) các điểm định bởi:

\(2\overrightarrow {{A_1}B} + 3\overrightarrow {{A_1}C} = \vec 0\) , \(2\overrightarrow{{{B}_{1}}C}+3\overrightarrow{{{B}_{1}}A}=\vec{0},\) \(2\overrightarrow {{C_1}A} + 3\overrightarrow {{C_1}B} = \vec 0\)

Chứng minh rằng \(\Delta ABC\) và \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) có cùng trọng tâm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:146493

Giải chi tiết

Gọi \({G_1}\) là trọng tâm của \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1};\,\,\,G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)

Ta chứng minh: \(G\equiv {{G}_{1}}\Leftrightarrow \overrightarrow{G{{G}_{1}}}=\vec{0}\)

Ta có: \(2\overrightarrow {{A_1}B} + 3\overrightarrow {{A_1}C} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {{A_1}G} + \overrightarrow {GB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {{A_1}G} + \overrightarrow {GC} } \right) = \vec 0\)

\( \Rightarrow 2\overrightarrow {GB} + 3\overrightarrow {GC} = 5\overrightarrow {G{A_1}} \)

Tương tự ta có: \(2\overrightarrow{GC}+3\overrightarrow{GA}=5\overrightarrow{G{{B}_{1}}}~;\,\,\,2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=5\overrightarrow{G{{C}_{1}}}.\)

Cộng ba đẳng thức trên vế theo vế ta có:

\(\begin{array}{l}5\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 5\left( {\overrightarrow {G{C_1}} + \overrightarrow {G{A_1}} + \overrightarrow {G{B_1}} } \right)\\\vec 0 = \overrightarrow {G{C_1}} + \overrightarrow {G{A_1}} + \overrightarrow {G{B_1}} \\ \Rightarrow \vec 0 = \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}{C_1}} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}{A_1}} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}{B_1}} \\ \Leftrightarrow \vec 0 = 3\overrightarrow {G{G_1}} \Rightarrow G \equiv {G_1}.\end{array}\)

Vậy \(\Delta ABC,\,\,\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) có cùng trọng tâm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.